Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào khái niệm cơ bản và quan trọng của giải tích: giới hạn của dãy số. Hiểu rõ về giới hạn dãy số là nền tảng để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như giới hạn hàm số, đạo hàm và tích phân.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Giải thích:

ε: Độ chính xác.
N: Số hạng từ đó trở đi, tất cả các số hạng của dãy số đều nằm trong khoảng (L - ε, L + ε).

2. Các dạng giới hạn của dãy số

Có ba dạng giới hạn chính của dãy số:

Dãy số hội tụ: Nếu dãy số có giới hạn hữu hạn L.
Dãy số phân kỳ ra vô cùng dương: lim_n→∞ u_n = +∞.
Dãy số phân kỳ ra âm vô cùng: lim_n→∞ u_n = -∞.

3. Các tính chất của giới hạn dãy số

Giả sử lim_n→∞ u_n = L và lim_n→∞ v_n = M, ta có:

lim_n→∞ (u_n + v_n) = L + M
lim_n→∞ (u_n - v_n) = L - M
lim_n→∞ (u_n * v_n) = L * M
lim_n→∞ (u_n / v_n) = L / M (với M ≠ 0)

4. Các phương pháp tính giới hạn dãy số

Có nhiều phương pháp để tính giới hạn của dãy số, bao gồm:

Phương pháp trực tiếp: Sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn.
Phương pháp sử dụng các tính chất của giới hạn: Áp dụng các tính chất đã nêu ở trên.
Phương pháp đánh giá: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá giới hạn.
Phương pháp sử dụng dãy số đặc biệt: Ví dụ: dãy số điều hòa, dãy số hình học.