Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc là một trong những bài học quan trọng trong chương trình Toán 11, tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai đường thẳng trong không gian xác định được mối quan hệ vuông góc. Việc hiểu rõ các khái niệm và định lý liên quan là nền tảng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Khái niệm về hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng vectơ chỉ phương của chúng. Nếu hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc, thì hai đường thẳng đó cũng vuông góc.

2. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Có một số điều kiện để xác định hai đường thẳng vuông góc trong không gian:

Điều kiện 1: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
Điều kiện 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

3. Các định lý liên quan

Có một số định lý quan trọng liên quan đến hai đường thẳng vuông góc:

Định lý 1: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì chúng song song với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song, thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

4. Ứng dụng của kiến thức về hai đường thẳng vuông góc

Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

Trong kiến trúc: Xác định các góc vuông trong các công trình xây dựng.
Trong kỹ thuật: Tính toán các góc nghiêng trong các thiết bị máy móc.
Trong vật lý: Phân tích các lực tác dụng lên vật thể.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về hai đường thẳng vuông góc, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a = (1, 2, 3) và b = (-3, -6, -9). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc với nhau hay không?
Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm thuộc mặt phẳng (P). Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng (P).