Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, các tính chất liên quan và ứng dụng của lý thuyết này trong giải toán.
Giaitoan.edu.vn mang đến cho bạn một phương pháp học toán online hiệu quả, với các bài giảng được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để củng cố kiến thức.
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({90^0}\).
2. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu \(a \bot b\), nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).
Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, kiến thức về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học không gian và giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các định lý, tính chất và phương pháp áp dụng để giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc là tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Cụ thể:
d1 ⊥ d2 ⇔ u1 . u2 = 0
Trong đó:
Trong mặt phẳng tọa độ, nếu hai đường thẳng có phương trình lần lượt là:
Thì điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là:
a1a2 + b1b2 = 0
Một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương. Mối quan hệ giữa hai loại vectơ này là:
Khi biết vectơ pháp tuyến, ta có thể dễ dàng tìm được vectơ chỉ phương và ngược lại. Điều này rất hữu ích trong việc xác định điều kiện vuông góc của hai đường thẳng.
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong giải toán, bao gồm:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: 2x - y + 3 = 0 và d2: x + 2y - 1 = 0. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc.
Giải:
Ta có: a1 = 2, b1 = -1, a2 = 1, b2 = 2
a1a2 + b1b2 = 2*1 + (-1)*2 = 0
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc.
Ví dụ 2: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng d: 3x - y + 1 = 0.
Giải:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n = (3; -1).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u = (1; 3).
Phương trình đường thẳng cần tìm là: (x - 1) + 3(y - 2) = 0 ⇔ x + 3y - 7 = 0
Khi giải các bài toán liên quan đến hai đường thẳng vuông góc, cần chú ý đến các yếu tố sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
