Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để tính đạo hàm của hàm số và giải các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2 trang 56, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD).
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):
Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.
Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).
Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).
Lời giải chi tiết
Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).
\(M\) là trung điểm của \(AC\)
\(N\) là trung điểm của \(BC\)
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
\(M\) là trung điểm của \(AC\)
\(P\) là trung điểm của \(AD\)
\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)
Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)
Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(MNP\) có:
\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)
Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).
Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm của hàm số.
Bài 2 yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số sau:
Để tính đạo hàm của f(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và tích của các hàm số:
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (5x) + d/dx (2)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của lũy thừa, ta có:
d/dx (3x^2) = 3 * 2x = 6x
d/dx (5x) = 5
d/dx (2) = 0
Vậy, f'(x) = 6x - 5
Tương tự như câu a, ta tính đạo hàm của g(x):
g'(x) = d/dx (x^3) + d/dx (4x) - d/dx (1)
g'(x) = 3x^2 + 4 - 0
Vậy, g'(x) = 3x^2 + 4
Để tính đạo hàm của h(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số:
h'(x) = d/dx (x^2 + 1) * (x - 2) + (x^2 + 1) * d/dx (x - 2)
d/dx (x^2 + 1) = 2x
d/dx (x - 2) = 1
Vậy, h'(x) = 2x(x - 2) + (x^2 + 1) * 1
h'(x) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1
h'(x) = 3x^2 - 4x + 1
Khi giải bài tập về đạo hàm, cần chú ý các quy tắc đạo hàm cơ bản như:
Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và phát triển tư duy logic.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
