Giải Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Giải chi tiết

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Bài 1 tập trung vào hai khái niệm cơ bản: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, cách tính và ý nghĩa của chúng trong việc phân tích dữ liệu.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) của một mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu. Nó cho biết mức độ trải rộng của dữ liệu. Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

R là khoảng biến thiên
X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu
X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 5, 7, 9, 11. Khoảng biến thiên của mẫu là: 11 - 2 = 9.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định Q₁ và Q₃.

2.1. Tứ phân vị thứ nhất (Q₁)

Q₁ là giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁ và 75% dữ liệu lớn hơn hoặc bằng Q₁.

Cách tính Q₁:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.
Tính vị trí của Q₁: Vị trí Q₁ = 0.25 * n, trong đó n là số lượng phần tử trong mẫu.
Nếu vị trí Q₁ là số nguyên, Q₁ là giá trị tại vị trí đó. Nếu vị trí Q₁ là số thập phân, Q₁ là trung bình cộng của hai giá trị gần nhất.

2.2. Tứ phân vị thứ ba (Q₃)

Q₃ là giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 75% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃ và 25% dữ liệu lớn hơn hoặc bằng Q₃.

Cách tính Q₃:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.
Tính vị trí của Q₃: Vị trí Q₃ = 0.75 * n, trong đó n là số lượng phần tử trong mẫu.
Nếu vị trí Q₃ là số nguyên, Q₃ là giá trị tại vị trí đó. Nếu vị trí Q₃ là số thập phân, Q₃ là trung bình cộng của hai giá trị gần nhất.