Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ về các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Bài 10 tập trung vào hai khái niệm then chốt: phương sai và độ lệch chuẩn. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, công thức tính toán và ứng dụng thực tế của chúng.

1. Phương sai (Variance)

Phương sai là một số đo lường mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu so với giá trị trung bình. Nó cho biết các giá trị trong tập dữ liệu cách xa giá trị trung bình như thế nào. Phương sai được ký hiệu là σ² (cho tổng thể) hoặc s² (cho mẫu).

Công thức tính phương sai:

Đối với tổng thể: σ² = Σ(x_i - μ)² / N, trong đó:
- x_i là giá trị của phần tử thứ i trong tổng thể
- μ là giá trị trung bình của tổng thể
- N là số lượng phần tử trong tổng thể
Đối với mẫu: s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1), trong đó:
- x_i là giá trị của phần tử thứ i trong mẫu
- x̄ là giá trị trung bình của mẫu
- n là số lượng phần tử trong mẫu

2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu, nhưng có đơn vị đo giống với đơn vị đo của dữ liệu gốc. Điều này làm cho độ lệch chuẩn dễ dàng diễn giải hơn so với phương sai.

Công thức tính độ lệch chuẩn:

Đối với tổng thể: σ = √σ²
Đối với mẫu: s = √s²

3. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một mẫu dữ liệu về chiều cao của 5 học sinh (đơn vị: cm): 160, 165, 170, 175, 180.

Tính giá trị trung bình: x̄ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170
Tính phương sai: s² = [(160-170)² + (165-170)² + (170-170)² + (175-170)² + (180-170)²] / (5-1) = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / 4 = 62.5
Tính độ lệch chuẩn: s = √62.5 ≈ 7.91

Kết quả cho thấy, chiều cao của các học sinh có độ phân tán tương đối lớn so với giá trị trung bình.

5. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Trong thống kê: Đánh giá mức độ tin cậy của các kết quả nghiên cứu.
Trong tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
Trong khoa học: Phân tích sự biến thiên của các hiện tượng tự nhiên.

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến để luyện tập.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn. Chúc các em học tập tốt!