Bài 12. Tích phân

Bài 12. Tích phân - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 12 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào kiến thức về tích phân, một khái niệm quan trọng trong giải tích. Bài học này sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức nền tảng về tích phân, bao gồm định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.

1. Định nghĩa tích phân

Tích phân là một phép toán ngược của phép vi phân. Nó được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Có hai loại tích phân chính: tích phân bất định và tích phân xác định.

• Tích phân bất định: Là một họ các hàm số có đạo hàm bằng hàm số đã cho. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó F'(x) = f(x) và C là hằng số tích phân.
• Tích phân xác định: Là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số f(x) và trục hoành trên đoạn [a, b]. Ký hiệu: ∫_a^bf(x)dx.

2. Tính chất của tích phân

Tích phân có nhiều tính chất quan trọng, giúp đơn giản hóa việc tính toán. Một số tính chất cơ bản bao gồm:

• ∫_a^b[f(x) + g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx + ∫_a^bg(x)dx
• ∫_a^bkf(x)dx = k∫_a^bf(x)dx (với k là hằng số)
• ∫_a^bf(x)dx = -∫_b^af(x)dx
• ∫_a^af(x)dx = 0

3. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp đổi biến: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
• Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm số hữu tỉ.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(x² + 1)dx

Giải: ∫(x² + 1)dx = ∫x²dx + ∫1dx = (x³/3) + x + C

Ví dụ 2: Tính ∫₀¹x²dx

Giải: ∫₀¹x²dx = [(x³/3)]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

5. Bài tập luyện tập

Để nắm vững kiến thức về tích phân, các em cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập luyện tập:

1. Tính ∫(3x² - 2x + 1)dx
2. Tính ∫₁²(x + 1/x)dx
3. Tính ∫xsin(x)dx (sử dụng phương pháp tích phân từng phần)

6. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về tích phân. Chúc các em học tập tốt!