Bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.13, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức \(v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Đề bài
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức \(v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giá trị trung bình để tính: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Vận tốc trung bình của động mạch là:
\(\frac{1}{{R - 0}}\int\limits_0^R {v\left( r \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {\left( {k{R^2} - k{r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\left( {k{R^2}r - \frac{{k{r^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\0\end{array} \right.\)
\( = \frac{1}{R}\left( {k.{R^3} - \frac{{k{R^3}}}{3}} \right) = \frac{{2k{R^2}}}{3}\)
Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là: \({v_{tb}} = \frac{{2k{R^2}}}{3}\).
Vì \(0 \le r \le R\) nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là \({v_{\max }} = k{R^2}\) khi \(r = 0\).
Do đó, \({v_{\max }} = \frac{3}{2}{v_{tb}}\).
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức:
(Đề bài cụ thể của bài tập 4.13 sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2(x+2). Khẳng định nào sau đây đúng?)
Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về:
Bước 1: Phân tích đề bài
Đề bài yêu cầu chúng ta xác định một khẳng định đúng liên quan đến đạo hàm f'(x) = (x-1)^2(x+2). Việc phân tích đạo hàm này sẽ giúp chúng ta hiểu được tính chất của hàm số y = f(x).
Bước 2: Xét dấu đạo hàm f'(x)
Ta xét dấu của f'(x) = (x-1)^2(x+2). Vì (x-1)^2 luôn dương với mọi x khác 1, nên dấu của f'(x) phụ thuộc vào dấu của (x+2).
Bước 3: Kết luận
Dựa vào việc xét dấu đạo hàm, ta có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số và các điểm cực trị. Ví dụ, x = -2 là điểm cực tiểu của hàm số, còn x = 1 không phải là điểm cực trị (vì đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 1).
(Phần này sẽ tiếp tục với việc phân tích các đáp án và chọn đáp án đúng dựa trên kết quả phân tích ở trên. Các ví dụ về các đáp án có thể bao gồm các khẳng định về khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị,...)
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em cần nắm vững các kiến thức sau:
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức liên quan được trình bày ở trên, các em sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
