Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Giải chi tiết

Trong hình học lớp 9, việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn là một chủ đề quan trọng. Bài 16 trong sách giáo khoa Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 đi sâu vào vấn đề này, cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan.

1. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống d.
• Bán kính của đường tròn: Là đoạn thẳng nối tâm của đường tròn với một điểm bất kỳ trên đường tròn.
• Tâm của đường tròn: Điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (O; R):

1. Trường hợp 1: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Điều này xảy ra khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d lớn hơn bán kính R (d(O, d) > R).
2. Trường hợp 2: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Điều này xảy ra khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R (d(O, d) = R). Điểm tiếp xúc là điểm trên đường tròn mà tại đó đường thẳng vuông góc với bán kính.
3. Trường hợp 3: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Điều này xảy ra khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (d(O, d) < R).

3. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, chúng ta thường sử dụng các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn.
2. Xác định phương trình của đường thẳng.
3. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng. Sử dụng công thức: d(O, d) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²), trong đó (x₀, y₀) là tọa độ tâm đường tròn và Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng.
4. So sánh khoảng cách d(O, d) với bán kính R để xác định vị trí tương đối.

4. Ví dụ minh họa

Bài tập: Cho đường tròn (O; 5) và đường thẳng d: 3x + 4y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 5).

Giải:

• Tâm đường tròn O có tọa độ (0; 0) và bán kính R = 5.
• Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d là: d(O, d) = |3(0) + 4(0) - 10| / √(3² + 4²) = 10 / 5 = 2.
• Vì d(O, d) = 2 < 5 = R, nên đường thẳng d cắt đường tròn (O; 5) tại hai điểm phân biệt.

5. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm và áp dụng đúng các công thức để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Việc hiểu rõ về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng quan trọng cho việc học các kiến thức hình học nâng cao hơn trong tương lai.