Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Trong chương trình Toán 11, chương 9 về xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức nền tảng về lý thuyết xác suất, một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học. Bài 2, tập trung vào biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về cách tính toán và đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện.

1. Biến cố hợp là gì?

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu của biến cố hợp là A ∪ B. Để hiểu rõ hơn, ta có thể hình dung như sau: nếu A là việc tung đồng xu được mặt ngửa và B là việc tung đồng xu được mặt sấp, thì A ∪ B là việc tung đồng xu được bất kỳ mặt nào (ngửa hoặc sấp).

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Quy tắc này phát biểu rằng:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B.
P(A) là xác suất của biến cố A.
P(B) là xác suất của biến cố B.
P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B (biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra).

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (không thể xảy ra đồng thời), thì P(A ∩ B) = 0, và quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

3. Ví dụ minh họa

Xét một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Chúng ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Gọi A là biến cố lấy được quả bóng đỏ đầu tiên, và B là biến cố lấy được quả bóng đỏ thứ hai. Chúng ta muốn tính P(A ∪ B).

P(A) = 3/5 (xác suất lấy được quả bóng đỏ đầu tiên)

P(B) = 3/5 (xác suất lấy được quả bóng đỏ thứ hai)

P(A ∩ B) = (3/5) * (2/4) = 3/10 (xác suất lấy được hai quả bóng đỏ)

Áp dụng quy tắc cộng xác suất:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 3/5 + 3/5 - 3/10 = 9/10

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

Một hộp chứa 8 quả bóng, trong đó có 4 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng trắng.
Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ lớp. Tính xác suất để chọn được ít nhất một học sinh nam.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng quy tắc cộng xác suất, cần chú ý đến việc xác định đúng các biến cố A, B và A ∩ B. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì P(A ∩ B) = 0. Nếu không, cần tính P(A ∩ B) một cách chính xác để đảm bảo kết quả đúng.

Hi vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Chúc bạn học tập tốt!