Chào mừng bạn đến với bài học về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong chương trình Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện.
Chúng tôi sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin áp dụng vào các bài kiểm tra và kỳ thi.
Trong chương 6, chúng ta đã làm quen với khái niệm xác suất có điều kiện. Bài 2 này sẽ đi sâu vào hai công thức quan trọng trong việc tính toán xác suất trong các tình huống phức tạp: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Hai công thức này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu, y học, và kỹ thuật.
Định nghĩa: Giả sử A là một biến cố. Gọi B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng A (B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = A). Khi đó, xác suất của A được tính theo công thức:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + ... + P(Bn)P(A|Bn)
Ý nghĩa: Công thức xác suất toàn phần cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố A khi nó có thể xảy ra thông qua nhiều biến cố khác nhau Bi.
Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.
Giải:
Ta có: P(B1) = 0.6, P(B2) = 0.4, P(A|B1) = 0.02, P(A|B2) = 0.03
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024
Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.
Định nghĩa: Giả sử A và B là hai biến cố. Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện P(B|A) khi biết P(A|B), P(A) và P(B):
P(B|A) = [P(A|B) * P(B)] / P(A)
Ý nghĩa: Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật niềm tin về một biến cố B khi có thêm thông tin về biến cố A.
Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh hiếm gặp. Xét nghiệm có độ chính xác 95% (tức là nếu bệnh nhân mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu bệnh nhân không mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả âm tính với xác suất 95%). Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Nếu một người được xét nghiệm và kết quả dương tính, xác suất người đó mắc bệnh là bao nhiêu?
Giải:
Ta có: P(B) = 0.01, P(A|B) = 0.95, P(A|¬B) = 0.05 (xét nghiệm cho kết quả dương tính khi không mắc bệnh)
Tính P(A) bằng công thức xác suất toàn phần:
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¬B)P(¬B) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
Áp dụng công thức Bayes:
P(B|A) = [P(A|B) * P(B)] / P(A) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161
Vậy, xác suất người đó mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính là khoảng 16.1%.
Bài 2 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
