Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức vào thực tế.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\) gọi là công thức xác suất toàn phần. |
Ví dụ: Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Giải:
Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".
Đối với xét nghiệm cho kết quả dương tính, có 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A∣B) = 0,762.P(A∣B) = 0,762.
Đối với xét nghiệm cho kết quả âm tính, có 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên P(A̅|B̅) = 0,991. Suy ra P(A̅|B) = 1 - 0,991 = 0,009.
Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1%, nên P(B) = 0,01.P(B) = 0,01 và P(B̅) = 0,99.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là:
P(A) = P(B).P(A∣B) + P(B) P(A∣B) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.
2.Công thức Bayes
Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\) gọi là công thức Bayes. |
Chú ý: - Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. - Với P(A) > 0, công thức \(P(B\mid A) = \frac{{P\left( B \right)P(A\mid B)}}{{P(A)}}\) cũng được gọi là công thức Bayes.
Ví dụ: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
Giải:
a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.
Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên
\(P(B) = 0,4\) và \(P(\overline B ) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:
\(P(A|B) = 0,02\) và \(P(A|\overline B ) = 0,01\).
Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014\).
b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}\).
Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:
\(P(\overline B |A) = 1 - P(B|A) = \frac{3}{7}\).
Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.
Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện và các tình huống thực tế phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về hai khái niệm này, bao gồm định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và các ứng dụng thực tế.
1. Định nghĩa:
Xác suất toàn phần là xác suất của một biến cố A xảy ra khi có một số biến cố xung khắc B1, B2, ..., Bn cùng tạo thành một không gian mẫu. Công thức xác suất toàn phần được biểu diễn như sau:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Trong đó:
2. Ví dụ minh họa:
Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm, trong đó có 5% sản phẩm bị lỗi. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm, trong đó có 2% sản phẩm bị lỗi. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm bị lỗi.
Giải:
Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm bị lỗi.
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0.05 * 0.6 + 0.02 * 0.4 = 0.03 + 0.008 = 0.038
Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm bị lỗi là 0.038.
1. Định nghĩa:
Công thức Bayes là công thức tính xác suất có điều kiện của một biến cố A khi biết một biến cố B đã xảy ra, dựa trên xác suất của biến cố B khi biết biến cố A xảy ra. Công thức Bayes được biểu diễn như sau:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)
Trong đó:
2. Ví dụ minh họa:
Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một loại bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Nếu một người được xét nghiệm và kết quả dương tính, tính xác suất người đó mắc bệnh.
Giải:
Gọi B là biến cố người mắc bệnh, và T là biến cố xét nghiệm cho kết quả dương tính.
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P(B|T) = [P(T|B)P(B)] / P(T)
P(T) = P(T|B)P(B) + P(T|¬B)P(¬B) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
P(B|T) = (0.95 * 0.01) / 0.059 = 0.0095 / 0.059 ≈ 0.161
Vậy xác suất người đó mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính là khoảng 16.1%.
Lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và ứng dụng vào thực tế.
