Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 23 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về quan hệ vuông góc trong không gian.

1. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều này có nghĩa là, nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), thì d vuông góc với mọi đường thẳng thuộc (P).

2. Các định lý liên quan

Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Định lý 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và đường thẳng đó không vuông góc với mặt phẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.

3. Ứng dụng của kiến thức

Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về:

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Chứng minh các tính chất hình học liên quan đến quan hệ vuông góc.

4. Giải bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên AC ⊥ BD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
Xét tam giác SAC, ta có: SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.
Kẻ AH ⊥ SC. Ta có: AH là đường cao của tam giác SAC.
Diện tích tam giác SAC là: S_SAC = (1/2) * SA * AC = (1/2) * a * a√2 = (a²√2)/2.
Diện tích tam giác SAC cũng bằng: S_SAC = (1/2) * SC * AH = (1/2) * a√3 * AH.
Suy ra: AH = (a²√2) / (a√3) = (a√2)/√3 = (a√6)/3.
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA. Ta có: sin(SCA) = SA/SC = a/(a√3) = 1/√3.
Vậy, góc SCA ≈ 35.26°.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, các em nên:

Làm đầy đủ các bài tập trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Tìm hiểu thêm các bài toán nâng cao về chủ đề này.
Thường xuyên ôn tập và hệ thống lại kiến thức.

6. Các dạng bài tập thường gặp

Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến chủ đề này bao gồm:

Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
Xác định điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.

7. Kết luận

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến chủ đề này sẽ giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt!