Bài 25. Nhị thức Newton

Bài 25 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Kết nối tri thức, tập trung vào việc nghiên cứu Nhị thức Newton – một công cụ quan trọng trong đại số tổ hợp, đặc biệt hữu ích khi giải quyết các bài toán liên quan đến khai triển biểu thức và tính xác suất.

1. Giới thiệu chung về Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một công thức toán học cho phép khai triển biểu thức (a + b)^n, trong đó n là một số nguyên không âm. Công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học.

2. Hệ số nhị thức

Để hiểu rõ về Nhị thức Newton, chúng ta cần làm quen với khái niệm hệ số nhị thức, ký hiệu là C(n, k) hoặc ⁿC_k, được tính theo công thức:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Trong đó:

n là số nguyên không âm
k là số nguyên không âm và k ≤ n
! ký hiệu giai thừa (ví dụ: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

3. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton được phát biểu như sau:

(a + b)^n = ∑_k=0ⁿ C(n, k) * a^n-k * b^k

Công thức này cho phép chúng ta khai triển (a + b)^n thành một tổng của các số hạng, mỗi số hạng chứa một hệ số nhị thức và các lũy thừa của a và b.

4. Tam giác Pascal và hệ số nhị thức

Tam giác Pascal là một công cụ trực quan giúp tính toán các hệ số nhị thức một cách dễ dàng. Mỗi hàng của tam giác Pascal tương ứng với một giá trị của n, và các số trong hàng đó là các hệ số nhị thức C(n, k) với k từ 0 đến n.

n	Hệ số nhị thức
0	1
1	1, 1
2	1, 2, 1
3	1, 3, 3, 1
4	1, 4, 6, 4, 1

5. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Khai triển biểu thức: Khai triển các biểu thức dạng (a + b)^n.
Tính xác suất: Tính xác suất trong các bài toán liên quan đến các sự kiện độc lập.
Giải các bài toán tổ hợp: Đếm số lượng các khả năng có thể xảy ra trong các bài toán tổ hợp.
Phân tích đa thức: Phân tích các đa thức thành các nhân tử.