Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 72, 73, 74 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong học tập.
Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau: Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);
Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:
Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);
Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).
Lời giải chi tiết:
Tổng các tích nhân được bằng với kết quả khai triển của tích (a+b).(c+d)= a.c+a.d+b.c+b.d
Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển \({(a + b)^4}\) được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm \({2^4}\) (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là \({a^3}b\). Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^1\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^4};\quad {a^3}b;\quad {a^2}{b^2};\quad a{b^3};\quad {b^4}?\)
Lời giải chi tiết:
Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}\) trong tổng là \(C_4^0 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^2}\) trong tổng là \(C_4^2 = 6\)
Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^3}\) trong tổng là \(C_4^3 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({b^4}\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)
Khai triển \({(x - 2)^4}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với a= x, b= -2.
Lời giải chi tiết:
\({(x - 2)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.( - 2) + 6.{x^2}.{( - 2)^2} + 4.x.{( - 2)^3} + {( - 2)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\)
Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng \({a^3},{a^2}b,a{b^2},{b^3}?\)
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển \({(a + b)^3}.\)
Lời giải chi tiết:
Các đơn thức còn thiếu hàng trên lần lượt là: b, a, b, a, b. Hàng dưới lần lượt là: \({a^2}b,a{b^2},{a^2}b,a{b^2},a{b^2}\)
Ta có: \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Các hệ số nhận được khi khai triển là bằng nhau.
Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển \({(a + b)^5}\), ta thu được một tổng gồm \({2^5}\) đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là \({a^2}{b^3}\). Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_5^3\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^5};{a^4}b;{a^3}{b^2};{a^2}{b^3};a{b^4};{b^5}?\)
Lời giải chi tiết:
Số đơn thức đồng dạng với \({a^5}\) trong tổng là \(C_5^0 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}b\)trong tổng là \(C_5^1 = 5\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}{b^2}\) trong tổng là \(C_5^2 = 10\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^3}\) trong tổng là \(C_5^3 = 10\)
Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^4}\)trong tổng là \(C_5^4 = 5\)
Số đơn thức đồng dạng với \({b^5}\) trong tổng là \(C_5^5 = 1\)
Khai triển \({(3x - 2)^5}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)với a= 3x, b= -2
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}{(3x - 2)^5} = {(3x)^5} + 5.{(3x)^4}.( - 2) + 10.{(3x)^3}.{( - 2)^2}\\ + 10.{(3x)^2}.{( - 2)^3} + 5.3x.{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\\ = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\end{array}\)
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức khai triển
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
b) Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\) là: \({1^4} + {4.1^3}.0,05 = 1,2\)
b) \(1,{05^4} = 1,2155\)
Sai số tuyệt đối là: 1,2155-1,2=0,0155
Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:
Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);
Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).
Lời giải chi tiết:
Tổng các tích nhân được bằng với kết quả khai triển của tích (a+b).(c+d)= a.c+a.d+b.c+b.d
Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng \({a^3},{a^2}b,a{b^2},{b^3}?\)
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển \({(a + b)^3}.\)
Lời giải chi tiết:
Các đơn thức còn thiếu hàng trên lần lượt là: b, a, b, a, b. Hàng dưới lần lượt là: \({a^2}b,a{b^2},{a^2}b,a{b^2},a{b^2}\)
Ta có: \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Các hệ số nhận được khi khai triển là bằng nhau.
Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển \({(a + b)^4}\) được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm \({2^4}\) (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là \({a^3}b\). Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^1\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^4};\quad {a^3}b;\quad {a^2}{b^2};\quad a{b^3};\quad {b^4}?\)
Lời giải chi tiết:
Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}\) trong tổng là \(C_4^0 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^2}\) trong tổng là \(C_4^2 = 6\)
Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^3}\) trong tổng là \(C_4^3 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({b^4}\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)
Khai triển \({(x - 2)^4}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với a= x, b= -2.
Lời giải chi tiết:
\({(x - 2)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.( - 2) + 6.{x^2}.{( - 2)^2} + 4.x.{( - 2)^3} + {( - 2)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\)
Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển \({(a + b)^5}\), ta thu được một tổng gồm \({2^5}\) đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là \({a^2}{b^3}\). Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_5^3\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.
\({a^5};{a^4}b;{a^3}{b^2};{a^2}{b^3};a{b^4};{b^5}?\)
Lời giải chi tiết:
Số đơn thức đồng dạng với \({a^5}\) trong tổng là \(C_5^0 = 1\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}b\)trong tổng là \(C_5^1 = 5\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}{b^2}\) trong tổng là \(C_5^2 = 10\)
Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^3}\) trong tổng là \(C_5^3 = 10\)
Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^4}\)trong tổng là \(C_5^4 = 5\)
Số đơn thức đồng dạng với \({b^5}\) trong tổng là \(C_5^5 = 1\)
Khai triển \({(3x - 2)^5}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)với a= 3x, b= -2
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}{(3x - 2)^5} = {(3x)^5} + 5.{(3x)^4}.( - 2) + 10.{(3x)^3}.{( - 2)^2}\\ + 10.{(3x)^2}.{( - 2)^3} + 5.3x.{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\\ = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\end{array}\)
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức khai triển
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
b) Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\) là: \({1^4} + {4.1^3}.0,05 = 1,2\)
b) \(1,{05^4} = 1,2155\)
Sai số tuyệt đối là: 1,2155-1,2=0,0155
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về vectơ. Các bài tập trang 72, 73, 74 SGK Toán 10 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học và đại số. Việc nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong giải toán là rất quan trọng để hoàn thành tốt các bài tập này.
Bài 1 thường bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận về các khái niệm cơ bản của vectơ như định nghĩa, các đặc trưng của vectơ, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và các tính chất của các phép toán này. Việc giải bài 1 đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ định nghĩa và tính chất của vectơ, cũng như biết cách áp dụng các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán đơn giản.
Bài 2 thường tập trung vào việc sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học, giải các bài toán về hình học phẳng và không gian. Ví dụ, học sinh có thể sử dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hoặc để tính diện tích của một hình đa giác. Việc giải bài 2 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về hình học và biết cách kết hợp kiến thức về vectơ với kiến thức về hình học để giải quyết các bài toán.
Bài 3 thường tập trung vào việc sử dụng vectơ để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, tìm tọa độ của các điểm và vectơ, và các bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ. Việc giải bài 3 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đại số và biết cách kết hợp kiến thức về vectơ với kiến thức về đại số để giải quyết các bài toán.
Để giúp các em học sinh giải quyết các bài tập trang 72, 73, 74 SGK Toán 10 tập 2 một cách hiệu quả, giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập. Lời giải của chúng tôi được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các giải thích chi tiết và các ví dụ minh họa. Các em có thể tham khảo lời giải của chúng tôi để hiểu rõ hơn về cách giải quyết các bài tập và tự mình giải các bài tập tương tự.
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Giải: Tích vô hướng của hai vectơ a và b được tính theo công thức:
a.b = xa.xb + ya.yb
Trong đó, xa và ya là tọa độ của vectơ a, và xb và yb là tọa độ của vectơ b.
Áp dụng công thức trên, ta có:
a.b = 1.(-3) + 2.4 = -3 + 8 = 5
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là 5.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn cụ thể, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trang 72, 73, 74 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
