Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 - Cánh diều

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong việc nghiên cứu hàm số bậc hai và đồ thị của chúng. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Các yếu tố ảnh hưởng đến dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
  • f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
  • f(x) > 0 khi x ≠ x₀
  • f(x) = 0 khi x = x₀
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó f(x) > 0 với mọi x.
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
  • f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
  • f(x) < 0 khi x ≠ x₀
  • f(x) = 0 khi x = x₀
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó f(x) < 0 với mọi x.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm:

x₁ = (-b - √Δ) / 2a = (5 - 3) / 4 = 1/2

x₂ = (-b + √Δ) / 2a = (5 + 3) / 4 = 2

Vì a = 2 > 0, nên:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2

4. Ứng dụng của việc xác định dấu của tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong việc:

• Giải các bất phương trình bậc hai
• Xác định khoảng giá trị của x để tam thức bậc hai dương hoặc âm
• Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số bậc hai

5. Bài tập luyện tập

Để nắm vững kiến thức về dấu của tam thức bậc hai, bạn nên luyện tập thêm các bài tập sau:

1. Xác định dấu của tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 3
2. Giải bất phương trình 2x² - x - 1 > 0
3. Tìm khoảng giá trị của x để x² - 6x + 9 ≥ 0

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!