Bài học về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều.
Nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai một cách hiệu quả.
1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} - 4ac.\)
+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)
+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)
+ \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)
2. Ví dụ
Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\)
Giải:
\(\Delta = {3^2} - 4.2.( - 2) = 25 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:
Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong đại số, đặc biệt là khi giải các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để xác định nghiệm của bất phương trình và giải quyết các bài toán thực tế.
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0.
Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 bằng công thức nghiệm:
x1,2 = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Biệt thức Δ = b2 - 4ac đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số nghiệm của phương trình:
Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ. Ta xét các trường hợp sau:
Bảng biến thiên giúp ta hình dung rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai:
| Trường hợp | a | Δ | Dấu của f(x) |
|---|---|---|---|
| 1 | > 0 | > 0 | Âm khi x1 < x < x2, Dương khi x < x1 hoặc x > x2 |
| 2 | > 0 | = 0 | Dương với mọi x ≠ -b/2a |
| 3 | > 0 | < 0 | Dương với mọi x |
| 4 | < 0 | > 0 | Dương khi x1 < x < x2, Âm khi x < x1 hoặc x > x2 |
| 5 | < 0 | = 0 | Âm với mọi x ≠ -b/2a |
| 6 | < 0 | < 0 | Âm với mọi x |
Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán sau:
Để củng cố kiến thức, các bạn có thể tự giải các bài tập sau (tham khảo SGK Toán 10 Cánh diều):
Hy vọng với những kiến thức trên, các bạn học sinh có thể nắm vững lý thuyết dấu của tam thức bậc hai và áp dụng thành công vào giải các bài toán thực tế.
