Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Cánh diều

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong phần Hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xét đến hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ < 0: f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn dương).
• Nếu Δ = 0: f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn không âm).
• Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:
• f(x) > 0 với x < x₁ hoặc x > x₂.
• f(x) < 0 với x₁ < x < x₂.
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ < 0: f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn âm).
• Nếu Δ = 0: f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn không dương).
• Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:
• f(x) < 0 với x < x₁ hoặc x > x₂.
• f(x) > 0 với x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0.

Vì a = 2 > 0 và Δ > 0, tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Ta tính được x₁ = 1/2 và x₂ = 2.

Vậy:

• f(x) > 0 với x < 1/2 hoặc x > 2.
• f(x) < 0 với 1/2 < x < 2.

4. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là:

• Giải bất phương trình bậc hai.
• Tìm khoảng giá trị của hàm số bậc hai.
• Xác định miền xác định của hàm số chứa căn bậc hai.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

1. Xác định dấu của tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 3.
2. Giải bất phương trình x² - 5x + 6 > 0.
3. Tìm khoảng giá trị của hàm số y = -2x² + 8x - 5.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!