Bài 3. Định lí Viète và ứng dụng

I. Định lí Viète

Định lí Viète là một công cụ quan trọng trong đại số, đặc biệt là khi giải các phương trình bậc hai. Định lí này thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của nó.

1. Phát biểu định lí

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, thì:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

2. Chứng minh định lí

Chứng minh định lí Viète dựa trên việc sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Khi đó:

x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a

x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

Cộng hai phương trình trên, ta được:

x₁ + x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a + (-b - √(b² - 4ac)) / 2a = -2b / 2a = -b/a

Nhân hai phương trình trên, ta được:

x₁ * x₂ = ((-b + √(b² - 4ac)) / 2a) * ((-b - √(b² - 4ac)) / 2a) = (b² - (b² - 4ac)) / 4a² = 4ac / 4a² = c/a

II. Ứng dụng của Định lí Viète

1. Kiểm tra nghiệm của phương trình

Định lí Viète có thể được sử dụng để kiểm tra xem một cặp số có phải là nghiệm của phương trình bậc hai hay không. Nếu tổng và tích của hai số đó bằng -b/a và c/a tương ứng, thì hai số đó là nghiệm của phương trình.

2. Tìm nghiệm của phương trình khi biết tổng và tích của chúng

Nếu chúng ta biết tổng và tích của hai nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta có thể sử dụng Định lí Viète để tìm ra hai nghiệm đó. Ví dụ, nếu x₁ + x₂ = S và x₁ * x₂ = P, thì x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0.

3. Xác định dấu của nghiệm phương trình

Định lí Viète cũng giúp xác định dấu của nghiệm phương trình. Ví dụ:

Nếu c/a > 0 thì hai nghiệm cùng dấu.
Nếu c/a < 0 thì hai nghiệm trái dấu.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Tìm tổng và tích của các nghiệm.

Giải: Theo Định lí Viète, ta có:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Bài 2: Tìm hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 15.

Giải: Gọi hai số đó là x₁ và x₂. Theo đề bài, ta có:

x₁ + x₂ = 8
x₁ * x₂ = 15

Vậy x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình x² - 8x + 15 = 0. Giải phương trình này, ta được x₁ = 3 và x₂ = 5.

IV. Kết luận

Định lí Viète là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Việc nắm vững định lí và các ứng dụng của nó sẽ giúp các em học sinh giải toán một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Chúc các em học tập tốt!