Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán 9, giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa hệ số và nghiệm của phương trình bậc hai. Nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục kiến thức này.
1. Định lí Viète Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)
1. Định lí Viète
Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình và các hệ số của nó. Hiểu rõ định lí này giúp học sinh tiết kiệm thời gian và công sức khi giải toán.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Khi đó:
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức Δ = b2 - 4ac ≥ 0.
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán sau:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Tìm tổng và tích của các nghiệm.
Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo Định lí Viète:
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + 3x - 5 = 0. Tìm các nghiệm của phương trình.
Ta có a = 2, b = 3, c = -5. Tính biệt thức Δ = 32 - 4(2)(-5) = 49 > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = (-3 + √49) / (2*2) = 1
x2 = (-3 - √49) / (2*2) = -2.5
Để nắm vững kiến thức về Định lí Viète và ứng dụng của nó, bạn hãy thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng của nó trong Toán 9. Chúc bạn học tập tốt!
