Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Nó giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các loại đường tiệm cận, cách xác định chúng và ứng dụng của chúng trong việc vẽ đồ thị hàm số.

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

II. Các loại đường tiệm cận

1. Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
2. Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

III. Cách xác định đường tiệm cận

Để xác định đường tiệm cận, ta thực hiện các bước sau:

• Tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
• Tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng.
• Tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→∞ f(x)/x và b = lim_x→∞ [f(x) - ax].

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì hàm số không có tiệm cận xiên).

V. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc:

• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
• Phân tích hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
• Giải các bài toán liên quan đến giới hạn và đạo hàm.

VI. Bài tập luyện tập

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³ + 1) / (x² + 2x)

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt!