Bài tập 1.18 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 1.18, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\); b) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).
Đề bài
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:a) \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\);b) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)
Do đó, đường thẳng \(y = \frac{{ - 1}}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = + \infty \)
Do đó, đường thẳng \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\).
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] = + \infty \)
Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) không có tiệm cận ngang.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \)
Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là \(x = - 2\)
Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = 2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận xiên là: \(y = 2x - 3\).
Bài tập 1.18 thuộc chương 1: Giới hạn của hàm số trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số tại một điểm và trên một khoảng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để học các chương tiếp theo của môn Toán 12.
Bài tập 1.18 yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số sau:
Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Do đó:
lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1
Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Do đó:
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Để tính giới hạn này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
Vậy, kết quả của bài tập 1.18 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là:
Để hiểu rõ hơn về giới hạn của hàm số, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Giaitoan.edu.vn là website học Toán online uy tín, cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các bài tập trong SGK Toán 12 và các môn học khác. Chúng tôi luôn cập nhật kiến thức mới nhất và cung cấp các phương pháp học tập hiệu quả để giúp các em học sinh đạt kết quả tốt nhất.
