Bài 3. Nhị thức Newton

1. Giới thiệu chung về Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một công thức toán học quan trọng, được sử dụng để khai triển biểu thức (a + b)^n, trong đó n là một số nguyên không âm. Công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học.

2. Hệ số nhị thức

Hệ số nhị thức, ký hiệu là C(n, k) hoặc ⁿC_k, là số cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Hệ số nhị thức được tính theo công thức:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Trong đó, n! là giai thừa của n, được định nghĩa là n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1.

3. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton được phát biểu như sau:

(a + b)^n = ∑_k=0ⁿ C(n, k) * a^n-k * b^k

Công thức này cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n thành một tổng của các số hạng, mỗi số hạng chứa một hệ số nhị thức và các lũy thừa của a và b.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khai triển (x + 2)^3

Áp dụng công thức Nhị thức Newton, ta có:

(x + 2)^3 = C(3, 0) * x³ * 2⁰ + C(3, 1) * x² * 2¹ + C(3, 2) * x¹ * 2² + C(3, 3) * x⁰ * 2³

= 1 * x³ * 1 + 3 * x² * 2 + 3 * x * 4 + 1 * 1 * 8

= x³ + 6x² + 12x + 8

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x² trong khai triển (2x - 1)^4

Hệ số của x² trong khai triển (2x - 1)^4 là C(4, 2) * (2x)² * (-1)²

= 6 * 4x² * 1

= 24x²

Vậy hệ số của x² là 24.

5. Bài tập áp dụng

Khai triển (x + 1)^5
Khai triển (2x - 3)^4
Tìm hệ số của x³ trong khai triển (x + 2)^6
Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển (3x - 1)^5

6. Lưu ý quan trọng

Luôn kiểm tra lại các tính toán, đặc biệt là giai thừa và hệ số nhị thức.
Chú ý đến dấu của các số hạng trong khai triển, đặc biệt khi có số âm.
Sử dụng công thức Nhị thức Newton một cách linh hoạt để giải quyết các bài toán khác nhau.

7. Kết luận

Bài học về Nhị thức Newton cung cấp cho các em một công cụ mạnh mẽ để khai triển biểu thức đại số. Việc nắm vững công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến Nhị thức Newton trong chương trình Toán 10 và các chương trình học cao hơn.

Chúc các em học tập tốt!