Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương 4, Toán 12 tập 2, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và trục tọa độ, cũng như tính thể tích của các vật thể tròn xoay.

I. Kiến thức nền tảng

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

• Nguyên hàm của hàm số: Hiểu rõ khái niệm nguyên hàm và cách tìm nguyên hàm của một hàm số.
• Tích phân bất định: Nắm vững định nghĩa và tính chất của tích phân bất định.
• Tích phân xác định: Hiểu rõ định nghĩa và ý nghĩa hình học của tích phân xác định.
• Diện tích hình phẳng: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
• Thể tích vật thể tròn xoay: Phương pháp đĩa và phương pháp vỏ để tính thể tích vật thể tròn xoay.

II. Giải bài tập SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo - Bài 3

Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo - Bài 3:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Lời giải:

Sử dụng phương pháp đĩa, ta có:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

III. Các dạng bài tập thường gặp

Trong quá trình ôn tập và luyện thi, các em có thể gặp các dạng bài tập sau:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
• Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy.
• Bài toán ứng dụng thực tế liên quan đến diện tích và thể tích.

IV. Mẹo giải bài tập hiệu quả

Để giải các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân một cách hiệu quả, các em nên:

• Vẽ hình minh họa để hình dung rõ bài toán.
• Xác định chính xác giới hạn tích phân.
• Lựa chọn phương pháp tích phân phù hợp (phương pháp đĩa, phương pháp vỏ).
• Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

V. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, các em có thể tham khảo thêm các bài tập sau:

• Bài tập trắc nghiệm về ứng dụng hình học của tích phân.
• Bài tập tự luận về ứng dụng hình học của tích phân.
• Đề thi thử Toán 12 có câu hỏi về ứng dụng hình học của tích phân.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân. Chúc các em học tập tốt!