Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập Toán 12 tập 2. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải một cách dễ hiểu, kèm theo các bước giải chi tiết để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho hình thang (OABC) có (Aleft( {0;1} right)), (Bleft( {2;2} right)) và (Cleft( {2;0} right)) (hình dưới đây). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang (OABC) quanh trục (Ox).
Đề bài
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình thang \(OABC\) có \(A\left( {0;1} \right)\), \(B\left( {2;2} \right)\) và \(C\left( {2;0} \right)\) (hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \(OABC\) quanh trục \(Ox\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình thang \(OABC\) được giới hạn bởi các đường thẳng \(AB\), \(OC\) (trục hoành), \(OA\) (trục tung, \(x = 0\)) và \(BC\) \(\left( {x = 2} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = f\left( x \right) = ax + b\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang \(OABC\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Hình thang \(OABC\) được giới hạn bởi các đường thẳng \(AB\), \(OC\) (trục hoành), \(OA\) (trục tung, \(x = 0\)) và \(BC\) \(\left( {x = 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = f\left( x \right) = ax + b\). Do \(A\left( {0;1} \right)\), \(B\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a.0 + b = 1}\\{a.2 + b = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = \frac{1}{2}x + 1\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang \(OABC\) quanh trục \(Ox\) là:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)dx} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{14}\pi}{3}\).
Bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 7 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập.
Giả sử một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t2 + 2t + 1, trong đó s(t) là quãng đường đi được sau thời gian t. Hãy tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3.
Lời giải:
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t được tính bằng đạo hàm của hàm quãng đường s(t) theo thời gian t. Ta có:
v(t) = s'(t) = 2t + 2
Thay t = 3 vào công thức trên, ta được:
v(3) = 2(3) + 2 = 8
Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 là 8.
Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1).
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta có:
y' = cos(x2 + 1) * (x2 + 1)' = cos(x2 + 1) * 2x
Vậy đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1) là y' = 2x * cos(x2 + 1).
Một người nông dân muốn xây dựng một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m2. Hỏi người nông dân cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để xây dựng chuồng trại với chi phí thấp nhất?
Lời giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng của chuồng trại lần lượt là x và y. Ta có diện tích chuồng trại là xy = 100, suy ra y = 100/x.
Chu vi của chuồng trại là P = 2(x + y) = 2(x + 100/x).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta tìm đạo hàm của P theo x và giải phương trình P'(x) = 0.
P'(x) = 2(1 - 100/x2)
Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10.
Khi x = 10, y = 100/10 = 10.
Vậy chuồng trại có hình vuông với cạnh 10m sẽ sử dụng ít hàng rào nhất. Chu vi của chuồng trại là P = 2(10 + 10) = 40m.
Bài tập 7 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà chúng tôi đã cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
