Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Trong chương trình Toán 11, đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số. Bài 33 tập trung vào việc mở rộng khái niệm đạo hàm, giới thiệu đạo hàm cấp hai – đạo hàm của đạo hàm cấp một. Việc hiểu rõ đạo hàm cấp hai giúp ta phân tích sâu hơn về tính chất của hàm số, đặc biệt là tính lồi, lõm và các điểm uốn.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) tại một điểm x, và f'(x) cũng có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của f'(x) tại x được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x, ký hiệu là f''(x).

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cung cấp thông tin về:

Độ cong của đồ thị hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi lên trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm xuống trên khoảng đó.
Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại được gọi là điểm uốn. Tại điểm uốn, f''(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một: Đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ thay đổi của độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số.

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản vẫn được áp dụng khi tính đạo hàm cấp hai, bao gồm:

Đạo hàm của một hằng số bằng 0.
Đạo hàm của xⁿ bằng nx^n-1.
Đạo hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các đạo hàm.
Quy tắc tích, quy tắc thương, quy tắc hàm hợp.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 5

f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tìm khoảng mà hàm số f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi lên.

Giải:

f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4

f''(x) = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²

Vì f''(x) ≥ 0 với mọi x, hàm số lồi lên trên toàn bộ trục số.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: f(x) = sin(x), f(x) = e^x, f(x) = ln(x).
Tìm các điểm uốn của hàm số f(x) = x⁵ - 5x⁴ + 5x³.
Xác định khoảng mà hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 lồi lên và lõm xuống.