Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác - Giải chi tiết

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Đường trung trực của một đoạn thẳng:

• Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
• Tính chất: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

2. Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Điểm đồng quy này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực.

3. Đường cao của một tam giác:

• Định nghĩa: Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện.

4. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

II. Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, CA. Ba đường trung trực này cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng O cách đều ba đỉnh A, B, C.

Lời giải:

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB.

Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC.

Vì O nằm trên đường trung trực của CA nên OC = OA.

Vậy OA = OB = OC, suy ra O cách đều ba đỉnh A, B, C.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng H là trung điểm của cạnh huyền BC.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH vuông góc với BC.

Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của ba đường cao. Do đó, H nằm trên đường cao kẻ từ B và C.

Xét tam giác BHC, vì BH và CH là đường cao nên H là trực tâm của tam giác BHC. Do đó, đường cao kẻ từ H vuông góc với BC.

Vì AH vuông góc với BC và đường cao kẻ từ H vuông góc với BC nên AH và đường cao kẻ từ H trùng nhau. Điều này chỉ xảy ra khi H là trung điểm của BC.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, tìm trực tâm của tam giác.

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về:

• Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
• Trọng tâm của tam giác.
• Mối quan hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

IV. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ hơn về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan đến chủ đề này. Chúc các em học tốt!