Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 4 trong chương 4 của sách Toán 12 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì S = ∫_a^b f(x) dx

Nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì S = -∫_a^b f(x) dx

II. Giải bài tập Bài 4 - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1. y = x², y = 0, x = 0, x = 2
2. y = sinx, y = 0, x = 0, x = π
3. y = e^x, y = 0, x = -1, x = 1

Giải:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², y = 0, x = 0, x = 2 là:

S = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = (2³/3) - (0³/3) = 8/3

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, y = 0, x = 0, x = π là:

S = ∫₀^π sinx dx = [-cosx]₀^π = (-cosπ) - (-cos0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = e^x, y = 0, x = -1, x = 1 là:

S = ∫_-1¹ e^x dx = [e^x]_-1¹ = e¹ - e^-1 = e - 1/e

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1. y = x³, y = x
2. y = x² - 4, y = 0

Giải:

a) Để tìm giao điểm của y = x³ và y = x, ta giải phương trình x³ = x ⇔ x³ - x = 0 ⇔ x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³ và y = x là:

S = ∫_-1⁰ (x³ - x) dx + ∫₀¹ (x - x³) dx = [x⁴/4 - x²/2]_-1⁰ + [x²/2 - x⁴/4]₀^{1} = (0 - (1/4 - 1/2)) + (1/2 - 1/4 - 0) = 1/4 + 1/4 = 1/2}

b) Để tìm giao điểm của y = x² - 4 và y = 0, ta giải phương trình x² - 4 = 0 ⇔ x = 2, x = -2.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - 4 và y = 0 là:

S = -∫_-2² (x² - 4) dx = -[x³/3 - 4x]_-2² = -[(8/3 - 8) - (-8/3 + 8)] = -[8/3 - 8 + 8/3 - 8] = -[16/3 - 16] = -[16/3 - 48/3] = -[-32/3] = 32/3

III. Luyện tập thêm

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập 2 để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về ứng dụng hình học của tích phân.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!