Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng - Giải chi tiết

Bài 4 trong chương VII Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, sách Toán 10 Cánh Diều tập 2, là một bài học quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về hình học tọa độ. Bài học này tập trung vào việc xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và tính toán các yếu tố liên quan.

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta xét hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng đó. Có ba trường hợp xảy ra:

• Trường hợp 1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: Hai đường thẳng cắt nhau.
• Trường hợp 2: Hệ phương trình vô nghiệm: Hai đường thẳng song song.
• Trường hợp 3: Hệ phương trình có vô số nghiệm: Hai đường thẳng trùng nhau.

Để xét vị trí tương đối một cách chính xác, ta thường sử dụng các công thức và định lý liên quan đến hệ số góc của đường thẳng.

II. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90° tạo bởi hai đường thẳng đó. Để tính góc giữa hai đường thẳng có phương trình:

d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0

d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Ta sử dụng công thức:

cos(θ) = |(a₁a₂ + b₁b₂) / (√(a₁² + b₁²)√(a₂² + b₂²))|

Trong đó θ là góc giữa hai đường thẳng.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Công thức này được sử dụng rộng rãi trong các bài toán hình học tọa độ và có nhiều ứng dụng thực tế.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁: x + y - 2 = 0 và d₂: 2x - y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này.

Giải: Ta giải hệ phương trình:

{ x + y = 2

2x - y = -1

Cộng hai phương trình, ta được 3x = 1 => x = 1/3. Thay x = 1/3 vào phương trình x + y = 2, ta được y = 5/3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất, suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: x - √3y + 1 = 0 và d₂: x + y - 5 = 0.

Giải: Ta có a₁ = 1, b₁ = -√3, a₂ = 1, b₂ = 1. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

cos(θ) = |(1*1 + (-√3)*1) / (√(1² + (-√3)²)√(1² + 1²))| = |(1 - √3) / (2√2)| ≈ 0.2588

=> θ ≈ 75°

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, các em cần luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu học tập trực tuyến khác.

Việc hiểu rõ các công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.