Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn giải quyết các bài tập trong mục III trang 85 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH. c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): 2x + y– 4 = 0 và điểm M(-1; 1). Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng \(\Delta \).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH.
c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.
Lời giải chi tiết:
a) Do MH vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên ta có vecto chỉ phương của MH là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\)
b) Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua \(M\left( { - 1;1} \right)\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)
c) H là giao điểm của MH và đường thẳng \(\Delta \)
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\2x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) . Vậy tọa độ điểm H là: \(H\left( {1;2} \right)\)
Độ dài đoạn thẳng MH là: \(MH = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \)
a) Tính khoảng cách từ điểm \(O\left( {0{\rm{;}}0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1\)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\)và \({\Delta _2}:x - y - 1 = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)
Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)
Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): 2x + y– 4 = 0 và điểm M(-1; 1). Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng \(\Delta \).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH.
c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.
Lời giải chi tiết:
a) Do MH vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên ta có vecto chỉ phương của MH là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\)
b) Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua \(M\left( { - 1;1} \right)\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)
c) H là giao điểm của MH và đường thẳng \(\Delta \)
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\2x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) . Vậy tọa độ điểm H là: \(H\left( {1;2} \right)\)
Độ dài đoạn thẳng MH là: \(MH = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \)
a) Tính khoảng cách từ điểm \(O\left( {0{\rm{;}}0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1\)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\)và \({\Delta _2}:x - y - 1 = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)
Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)
b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)
Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)
Mục III trang 85 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về vectơ trong hình học. Cụ thể, các bài tập trong mục này thường liên quan đến việc xác định tọa độ của vectơ, tính độ dài của vectơ, và sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học.
Mục III bao gồm một số bài tập với mức độ khó tăng dần. Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài tập:
Bài tập này yêu cầu học sinh tìm tọa độ của một vectơ dựa trên tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững công thức tính tọa độ của vectơ: Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA).
Bài tập này yêu cầu học sinh tính độ dài của một vectơ. Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng công thức tính độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a(x, y) là √(x2 + y2).
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Ví dụ, để chứng minh hai đường thẳng song song, ta có thể chứng minh hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó cùng phương.
Ví dụ: Cho A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ và độ dài của vectơ AB.
Giải:
Giải mục III trang 85 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về vectơ và áp dụng linh hoạt các công thức và tính chất của vectơ. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Tọa độ vectơ AB | (xB - xA, yB - yA) |
| Độ dài vectơ a(x, y) | √(x2 + y2) |
