Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 5 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 đi sâu vào việc nghiên cứu giá trị lượng giác của các góc từ 0 đến 180 độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đặt nền móng cho các kiến thức lượng giác nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.

1. Định nghĩa giá trị lượng giác của một góc nhọn

Trước khi đi vào các góc từ 0 đến 180 độ, chúng ta cần ôn lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc nhọn α trong tam giác vuông. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với góc nhọn α tại đỉnh B:

Sin α (sin α): Tỉ số giữa cạnh đối diện góc α và cạnh huyền: sin α = đối/hypotenuse
Cosin α (cos α): Tỉ số giữa cạnh kề góc α và cạnh huyền: cos α = kề/hypotenuse
Tang α (tan α): Tỉ số giữa cạnh đối diện góc α và cạnh kề góc α: tan α = đối/kề
Cotang α (cot α): Tỉ số giữa cạnh kề góc α và cạnh đối diện góc α: cot α = kề/đối

2. Mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho các góc từ 0 đến 180 độ

Để mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho các góc từ 0 đến 180 độ, chúng ta sử dụng đường tròn lượng giác. Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1) trên mặt phẳng tọa độ, với tâm tại gốc tọa độ O.

Với mỗi góc α (0 ≤ α ≤ 180°), ta xác định một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho góc xOM bằng α. Khi đó:

Hoành độ của M được gọi là cosin của α: x = cos α
Tung độ của M được gọi là sin của α: y = sin α
tan α = y/x (với x ≠ 0)
cot α = x/y (với y ≠ 0)

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Góc α	sin α	cos α	tan α	cot α
0°	0	1	0	Không xác định
30°	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	1/2	√3	√3/3
90°	1	0	Không xác định	0
180°	0	-1	0	Không xác định

4. Tính chất của giá trị lượng giác

Một số tính chất quan trọng của giá trị lượng giác:

sin² α + cos² α = 1
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
tan α . cot α = 1

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của sin 120° và cos 120°.

Giải:

sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = √3/2

cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° = -1/2

Ví dụ 2: Cho α là góc nhọn. Biết sin α = 3/5. Tính cos α và tan α.

Giải:

cos α = √(1 - sin² α) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5

tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4

6. Kết luận

Bài 5 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác trong chương trình Toán 10 và các chương trình học nâng cao hơn.