Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và các công thức quan trọng liên quan đến sin, cosin, tang và cotang.
Nội dung được trình bày một cách dễ hiểu, phù hợp với học sinh lớp 10 và 11, cũng như những ai muốn ôn tập kiến thức lượng giác cơ bản.
Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180
1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
+) Nửa đường tròn đơn vị: nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (H.3.2).
+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o})\)có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó:
\(\sin \alpha = {y_0}\) là tung độ của M
\(\cos \alpha = {x_0}\) là hoành độ của M
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha \ne {90^o})\)
\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha \ne {0^o},\alpha \ne {180^o})\)
+) Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
+) Tìm các giá trị lượng giác của góc bằng máy tính cầm tay.
Trước tiên, bấm phím SHIFT MODE rồi bấm phím 3 để chọn đơn vị góc là “độ”.
Chú ý:
Khi tìm x biết sin x, mát tính chỉ đưa ra giá trị \(x \le {90^o}\)
Để tính cot x, ta tính 1: tan x.
2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU
* Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \):
\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha (\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ({0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}\)
* Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \):
\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}\)
Lượng giác là một nhánh quan trọng của toán học, nghiên cứu về mối quan hệ giữa các góc và cạnh của tam giác. Giá trị lượng giác của một góc đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tế, từ đo đạc chiều cao, khoảng cách đến các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, với góc nhọn BAC = α. Ta định nghĩa:
Một số góc đặc biệt có giá trị lượng giác quen thuộc:
| Góc (α) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Để mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho các góc từ 0 đến 180 độ, ta sử dụng đường tròn lượng giác. Trên đường tròn lượng giác, mỗi góc α tương ứng với một điểm M trên đường tròn. Tọa độ của điểm M (x, y) được định nghĩa như sau:
Với góc α từ 0 đến 180 độ, sin α luôn dương hoặc bằng 0, trong khi cos α có thể dương, âm hoặc bằng 0.
Có một số quan hệ quan trọng giữa các giá trị lượng giác:
Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180 độ. Ví dụ, α và 180° - α là hai góc bù nhau. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau có các tính chất sau:
Giá trị lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc nắm vững lý thuyết giá trị lượng giác là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác và các lĩnh vực ứng dụng khác.
