Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - SBT Toán 10 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 5 trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào hai dạng phương trình thường gặp có thể quy về phương trình bậc hai để giải. Việc nắm vững phương pháp giải quyết hai dạng này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

Dạng 1: Phương trình chứa căn thức bậc hai

Phương trình chứa căn thức bậc hai thường có dạng √(ax + b) = cx + d. Để giải loại phương trình này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Điều kiện xác định: Đảm bảo biểu thức dưới dấu căn luôn không âm (ax + b ≥ 0).
2. Bình phương hai vế: (√(ax + b))² = (cx + d)² => ax + b = (cx + d)²
3. Giải phương trình bậc hai: (cx + d)² = ax + b sẽ đưa về phương trình bậc hai có dạng Ac²x² + 2cdx + d² - ax - b = 0.
4. Kiểm tra điều kiện: Sau khi tìm được nghiệm, cần kiểm tra lại với điều kiện xác định ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Ví dụ minh họa Dạng 1:

Giải phương trình √(2x + 1) = x - 1

• Điều kiện: 2x + 1 ≥ 0 => x ≥ -1/2
• Bình phương hai vế: 2x + 1 = (x - 1)² => 2x + 1 = x² - 2x + 1
• Giải phương trình bậc hai: x² - 4x = 0 => x(x - 4) = 0 => x = 0 hoặc x = 4
• Kiểm tra điều kiện: x = 0 thỏa mãn x ≥ -1/2. x = 4 thỏa mãn x ≥ -1/2.

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 và x = 4.

Dạng 2: Phương trình chứa phân thức hữu tỉ

Phương trình chứa phân thức hữu tỉ thường có dạng A/B = C/D. Để giải loại phương trình này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định: Xác định các giá trị của biến số làm mẫu số khác 0.
2. Quy đồng mẫu số: Đưa các phân thức về cùng mẫu số.
3. Khử mẫu số: Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung.
4. Giải phương trình thu được: Phương trình sau khi khử mẫu thường là phương trình bậc hai.
5. Kiểm tra điều kiện: Sau khi tìm được nghiệm, cần kiểm tra lại với điều kiện xác định ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Ví dụ minh họa Dạng 2:

Giải phương trình (x + 2)/(x - 1) = (x - 1)/(x + 2)

• Điều kiện: x ≠ 1 và x ≠ -2
• Quy đồng mẫu số: (x + 2)² = (x - 1)²
• Khử mẫu số: x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1
• Giải phương trình thu được: 6x = -3 => x = -1/2
• Kiểm tra điều kiện: x = -1/2 thỏa mãn x ≠ 1 và x ≠ -2.

Vậy phương trình có một nghiệm: x = -1/2.

Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai dạng phương trình này, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 10 Cánh diều cung cấp rất nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao. Các em cũng có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến trên giaitoan.edu.vn để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Lời khuyên

Khi giải các phương trình chứa căn thức hoặc phân thức, điều kiện xác định đóng vai trò rất quan trọng. Các em cần luôn kiểm tra điều kiện trước khi thực hiện các phép biến đổi đại số để tránh bỏ sót nghiệm hoặc đưa ra nghiệm sai.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!