Bài 5. Phép quay

Bài 5. Phép quay - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các đối xứng và các phép biến đổi hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép quay trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

1. Định nghĩa phép quay

Trong mặt phẳng, phép quay tâm O góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

• OM = OM’
• Góc MOM’ = α

Ký hiệu: Q_{(O, α)}(M) = M’

2. Tính chất của phép quay

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Tức là, nếu M và N là hai điểm bất kỳ, thì M’N’ = MN.

Phép quay bảo toàn góc. Tức là, nếu góc MAN là góc nhọn hoặc góc vuông, thì góc M’A’N’ cũng là góc nhọn hoặc góc vuông.

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Cho điểm M(x; y) và phép quay Q_{(O, α)} với O(0; 0). Tọa độ điểm M’(x’; y’) sau phép quay được tính theo công thức:

x’ = xcosα - ysinα

y’ = xsinα + ycosα

Nếu tâm quay O(a; b) thì:

x’ = a + (x-a)cosα - (y-b)sinα

y’ = b + (x-a)sinα + (y-b)cosα

4. Các dạng bài tập thường gặp

1. Xác định ảnh của một điểm qua phép quay: Sử dụng công thức tọa độ để tìm tọa độ điểm ảnh sau phép quay.
2. Xác định tâm và góc của phép quay: Dựa vào các điểm gốc và điểm ảnh để suy luận tâm và góc quay.
3. Chứng minh một hình là ảnh của một hình khác qua phép quay: Chứng minh rằng mỗi điểm của hình gốc biến thành một điểm của hình ảnh qua phép quay.
4. Áp dụng phép quay vào giải các bài toán hình học: Sử dụng tính chất bảo toàn khoảng cách và góc của phép quay để giải quyết các bài toán liên quan đến đối xứng và biến đổi hình học.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm M(2; 3) và phép quay Q_{(O, 90^o)}. Tìm tọa độ điểm M’.

Giải:

x’ = 2cos90^o - 3sin90^o = 0 - 3 = -3

y’ = 2sin90^o + 3cos90^o = 2 + 0 = 2

Vậy M’(-3; 2).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q_{(O, 45^o)}.

(Giải thích chi tiết cách tính tọa độ A’, B’, C’ và chứng minh tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q_{(O, 45^o)})

6. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về phép quay, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M(1; -2) qua phép quay Q_{(O, 180^o)}.
• Bài 2: Xác định tâm và góc của phép quay biến điểm A(1; 0) thành điểm A’(0; 1).
• Bài 3: Chứng minh rằng hình vuông ABCD là ảnh của hình vuông A’B’C’D’ qua phép quay Q_{(O, 90^o)}.

7. Kết luận

Bài học về phép quay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về một trong những phép biến hình cơ bản trong hình học. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của phép quay sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Chúc các em học tập tốt!