Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto

Bài 6 trong chương trình Toán 10 tập 1 - Cánh diều tập trung vào một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ: tích vô hướng. Hiểu rõ về tích vô hướng là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong hình học phẳng và không gian.

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính bằng công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

|a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Tính chất của tích vô hướng

Tích vô hướng có một số tính chất quan trọng sau:

a.b = b.a (Tính giao hoán)
a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
(ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
a.a = |a|²

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

Trong không gian, nếu a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) thì:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học:

Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b.
Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là (a.b) / |b|

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính tích vô hướng của a và b.

Giải:

a.b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a và b tạo thành một góc 60^o, |a| = 3 và |b| = 4. Tính tích vô hướng của a và b.

Giải:

a.b = |a||b|cos(60^o) = (3)(4)(1/2) = 6

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như giaitoan.edu.vn để luyện tập và củng cố kiến thức.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc các em học tập tốt!