giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: nguyên hàm

Hướng dẫn giải bài tập Nguyên hàm - Giải tích 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề Nguyên hàm. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia?

• a) \(e^{-x}\) và \(-e^{-x}\).
• b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2 x\).
• c) \((1 - \frac{2}{x})^2 e^x\) và \((1 - \frac{4}{x})e^x\).

Lời giải:

1. a) Hàm số \(e^{-x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(-e^{-x}\) vì \((e^{-x})' = -e^{-x}\). Tương tự, \(-e^{-x}\) là một nguyên hàm của \(e^{-x}\) vì \((-e^{-x})' = e^{-x}\).
2. b) Ta kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm của \(\sin^2 x\): \((\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\). Vậy, \(\sin^2 x\) là một nguyên hàm của \(\sin 2x\).
3. c) Ta tính đạo hàm của \((1 - \frac{4}{x})e^x\): \([(1 - \frac{4}{x})e^x]' = (\frac{4}{x^2})e^x + (1 - \frac{4}{x})e^x = e^x(\frac{4}{x^2} + 1 - \frac{4}{x}) = e^x(1 - \frac{2}{x})^2\). Vậy, \((1 - \frac{4}{x})e^x\) là một nguyên hàm của \(e^x(1 - \frac{2}{x})^2\).

Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số dưới đây:

• a) \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\).
• b) \(f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}\).
• c) \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\).
• d) \(f(x) = \sin 5x \cos 3x\).
• e) \(f(x) = \tan^2 x\).
• g) \(f(x) = e^{3 - 2x}\).
• h) \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 - 2x)}\).

Lời giải:

1. a) \(f(x) = x^{2/3} + x^{1/6} + x^{-1/3}\). Nguyên hàm là \(\frac{3}{5}x^{5/3} + \frac{6}{7}x^{7/6} + \frac{3}{2}x^{2/3} + C\).
2. b) Nguyên hàm là \(\frac{2^x + 1 - \ln 2}{e^x(1 - \ln 2)} + C\).
3. c) Nguyên hàm là \(-2\cot 2x + C\).
4. d) Nguyên hàm là \(\frac{\sin 2x}{2} + C\). (Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng)
5. e) \(f(x) = \tan^2 x = \sec^2 x - 1\). Nguyên hàm là \(\tan x - x + C\).
6. g) Nguyên hàm là \(-\frac{1}{2}e^{3 - 2x} + C\).
7. h) Phân tích thành phân thức đơn giản: \(\frac{1}{(1 + x)(1 - 2x)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2x}\). Giải ra \(A = \frac{1}{3}\), \(B = \frac{2}{3}\). Nguyên hàm là \(\frac{1}{3}\ln|1 + x| + \frac{2}{3} \cdot \frac{-1}{2} \ln|1 - 2x| + C = \frac{1}{3}\ln|1 + x| - \frac{1}{3}\ln|1 - 2x| + C = \frac{1}{3}\ln|\frac{1 + x}{1 - 2x}| + C\).

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính:

• a) \(\int (1 - x)^9 dx\).
• b) \(\int x(1 + x^2)^{3/2} dx\).
• c) \(\int \cos^3 x \sin x dx\).
• d) \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\).

Lời giải:

1. a) Đặt \(u = 1 - x\), \(du = -dx\). \(\int (1 - x)^9 dx = -\int u^9 du = -\frac{1}{10}u^{10} + C = -\frac{1}{10}(1 - x)^{10} + C\).
2. b) Đặt \(u = 1 + x^2\), \(du = 2x dx\). \(\int x(1 + x^2)^{3/2} dx = \frac{1}{2}\int u^{3/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}u^{5/2} + C = \frac{1}{5}(1 + x^2)^{5/2} + C\).
3. c) Đặt \(u = \cos x\), \(du = -\sin x dx\). \(\int \cos^3 x \sin x dx = -\int u^3 du = -\frac{1}{4}u^4 + C = -\frac{1}{4}\cos^4 x + C\).
4. d) Đặt \(u = e^x\), \(du = e^x dx\). \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{du}{u^2 + 2u + 1} = \int \frac{du}{(u + 1)^2} = -\frac{1}{u + 1} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C\).

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

• a) \(\int x \ln(1 + x) dx\).
• b) \(\int (x^2 + 2x - 1)e^x dx\).
• c) \(\int x \sin(2x + 1) dx\).
• d) \(\int (1 - x) \cos x dx\).

Lời giải:

Các bài toán nguyên hàm từng phần được giải chi tiết trong tài liệu gốc. Học sinh nên tự ôn lại công thức và áp dụng để hiểu rõ hơn về phương pháp này.

Lời khích lệ:

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đòi hỏi sự luyện tập thường xuyên để nắm vững. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn, hãy kiên trì giải các bài tập, tham khảo các nguồn tài liệu khác và trao đổi với bạn bè, thầy cô. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!