giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: tích phân

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Tích Phân - Giải tích 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập về tích phân trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, phần Luyện tập. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập được trình bày theo cấu trúc rõ ràng, từ các bài tập cơ bản đến nâng cao, bao gồm các dạng bài điển hình như tính tích phân xác định, tích phân hàm số lượng giác, tích phân từng phần, đổi biến số, và tích phân hàm số đặc biệt. Các lời giải được trình bày chi tiết, dễ hiểu, có giải thích rõ ràng từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải. **Ưu điểm:** * **Tính hệ thống:** Các bài tập được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần, giúp học sinh làm quen dần với các kỹ thuật giải khác nhau. * **Chi tiết, dễ hiểu:** Lời giải được trình bày cẩn thận, có chú thích rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được logic của bài giải. * **Đa dạng dạng bài:** Bao gồm nhiều dạng bài tập khác nhau, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề khác nhau liên quan đến tích phân. * **Phương pháp giải đa dạng:** Sử dụng nhiều phương pháp giải khác nhau như đổi biến số, tích phân từng phần, giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về các kỹ thuật giải tích phân. **Nội dung chi tiết:** **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 1**. Tính các tích phân sau đây: a) \(\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}} dx.\) b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx.\) c) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x(x + 1)}}dx} .\) d) \(\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx.\) e) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .\) f) \(\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx.\) **Lời giải:** a) Đặt \(u = 1 – x\) ta có \(du = – dx.\) Khi \(x = – \frac{1}{2}\) thì \(u = \frac{3}{2}\); khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(u = \frac{1}{2}.\) Do đó: \(\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}} dx \) \( = – \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{u^2}}}} du\) \( = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {{u^{\frac{2}{3}}}} du\) \( = \left. {\frac{3}{5}{u^{\frac{5}{3}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\) \( = \left. {\frac{3}{5}u\sqrt[3]{{{u^2}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}.\) \( = \frac{3}{5}\left( {\frac{3}{2}\sqrt[3]{{\frac{9}{4}}} – \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)\) \( = \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}(3\sqrt[3]{9} – 1).\) b) Đặt \(u = \frac{\pi }{4} – x\) ta có \(du = – dx.\) Khi \(x = 0\) thì \(u = \frac{\pi }{4}\); khi \(x = \frac{\pi }{2}\) thì \(u = – \frac{\pi }{4}.\) Do đó: \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx\) \( = – \int_{\frac{\pi }{4}}^{ – \frac{\pi }{4}} {\sin udu} \) \( = \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sin udu} \) \( = – \left. {\cos u} \right|_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\) \( = – \left( {\cos \frac{\pi }{4} – \cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0.\) Vậy \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx = 0.\) c) Ta có: \(\frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}.\) Do đó: \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} \) \( = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) \( = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} \) \( = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{x + 1}}} \) \( = \left. {\ln |x|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 – \left. {\ln |x + 1|} \right|_{\frac{1}{2}}^2.\) \( = \ln 2 – \ln \frac{1}{2} – \ln 3 – \ln \frac{3}{2}\) \( = \ln 2.\) d) \(\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx\) \( = \int_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^2\) \( = 4 + \frac{{16}}{3} + 2\) \( = \frac{{34}}{3}.\) e) Đặt \(u = x + 1\) ta có \(du = dx\) và \(x = u – 1.\) Khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(u = \frac{3}{2}\); khi \(x = 2\) thì \(u = 3.\) Do đó: \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} \) \( = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{1 – 3(u – 1)}}{{{u^2}}}du} \) \( = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{4 – 3u}}{{{u^2}}}du} \) \( = 4\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} – 3\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{u}} \) \( = – \left. {\frac{4}{u}} \right|_{\frac{3}{2}}^3 – \left. {3\ln u} \right|_{\frac{3}{2}}^3.\) \( = – \left( {\frac{4}{3} – \frac{4}{{\frac{3}{2}}}} \right) – 3\left( {\ln 3 – \ln \frac{3}{2}} \right)\) \( = \frac{4}{3} – 3\ln 2.\) f) Ta có: \(\sin 3x.\cos 5x\) \( = \frac{1}{2}(\sin 8x – \sin 2x).\) Do đó: \(\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx\) \( = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(\sin 8x – \sin 2x)dx} \) \( = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8xdx} – \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} .\) \( = \left. { – \frac{1}{{16}}\cos 8x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\cos 2x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\) \( = – \frac{1}{{16}}[\cos 4\pi – \cos ( – 4\pi )]\) \( + \frac{1}{4}[\cos \pi – \cos ( – \pi )].\) \( = – \frac{1}{{16}}(1 – 1) + \frac{1}{4}( – 1 + 1) = 0.\) **Lời khuyên:** Các em hãy cố gắng làm hết các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!