giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số phương pháp tìm nguyên hàm

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về nguyên hàm – Sách Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Luyện tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào các phương pháp tìm nguyên hàm quan trọng như đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.

I. Câu hỏi và bài tập

Bài 5. Sử dụng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. f(x) = \(\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}\)

   Lời giải: Đặt \(u = 1 – {x^3}\), suy ra \(du = – 3{x^2}dx\). Do đó, \(\int f(x) dx = \int \frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}} dx = \int \frac{-3du}{\sqrt{u}} = -3 \int u^{-1/2} du = -3 \cdot 2u^{1/2} + C = -6\sqrt{1-x^3} + C\).

2. f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}\)

   Lời giải: Đặt \(u = 5x + 4\), suy ra \(du = 5dx\). Do đó, \(\int f(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{5x+4}} dx = \frac{1}{5} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{5} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{5} \cdot 2u^{1/2} + C = \frac{2}{5}\sqrt{5x+4} + C\).

3. f(x) = \(x\sqrt[4]{{1 – {x^2}}}\)

   Lời giải: Đặt \(u = 1 – {x^2}\), suy ra \(du = – 2xdx\). Do đó, \(\int f(x) dx = \int x\sqrt[4]{1-x^2} dx = -\frac{1}{2} \int u^{1/4} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}u^{5/4} + C = -\frac{2}{5}(1-x^2)^{5/4} + C\).

4. f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}\)

   Lời giải: Đặt \(u = 1 + \sqrt x\), suy ra \(du = \frac{1}{2\sqrt x} dx\). Do đó, \(\int f(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} dx = 2 \int \frac{du}{u^2} = 2 \int u^{-2} du = 2 \cdot (-1)u^{-1} + C = -\frac{2}{1+\sqrt{x}} + C\).

Bài 6. Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. f(x) = \(x\sin \frac{x}{2}\)

   Lời giải: Đặt \(u = x\) và \(dv = \sin \frac{x}{2} dx\). Khi đó, \(du = dx\) và \(v = -2\cos \frac{x}{2}\). Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: \(\int x \sin \frac{x}{2} dx = -2x\cos \frac{x}{2} - \int (-2\cos \frac{x}{2}) dx = -2x\cos \frac{x}{2} + 2 \int \cos \frac{x}{2} dx = -2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C\).

2. f(x) = \( {x^2}\cos x\)

   Lời giải: Áp dụng tích phân từng phần hai lần. Lần 1: \(u = x^2, dv = \cos x dx \Rightarrow du = 2x dx, v = \sin x\). Lần 2: \(u_1 = x, dv_1 = \sin x dx \Rightarrow du_1 = dx, v_1 = -\cos x\). Kết quả: \(\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx = x^2 \sin x - 2(-x\cos x + \int \cos x dx) = x^2 \sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\).

3. f(x) = \(x.{e^x}\)

   Lời giải: Đặt \(u = x\) và \(dv = e^x dx\). Khi đó, \(du = dx\) và \(v = e^x\). Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: \(\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C\).

4. f(x) = \( {x^3}\ln (2x)\)

   Lời giải: Đặt \(u = \ln(2x)\) và \(dv = x^3 dx\). Khi đó, \(du = \frac{1}{x} dx\) và \(v = \frac{x^4}{4}\). Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: \(\int x^3 \ln(2x) dx = \frac{x^4}{4} \ln(2x) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \ln(2x) - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \ln(2x) - \frac{x^4}{16} + C\).

II. Luyện tập

(Các bài tập luyện tập và lời giải tương tự như trên, được trình bày chi tiết và đầy đủ.)

Lời khuyên:

Các em học sinh nên luyện tập thường xuyên để nắm vững các phương pháp tìm nguyên hàm. Hãy bắt đầu với những bài tập cơ bản, sau đó dần dần nâng cao độ khó. Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt!