giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: số phức

Hướng dẫn giải bài tập Số phức – Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Luyện tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chương Số phức. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.

I. Câu hỏi và bài tập

Bài 1. Cho các số phức \(2 + 3i\), \(1 + 2i\), \(2 – i\).

1. Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
2. Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
3. Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chung trong mặt phẳng phức.

Lời giải:

a) Các điểm \(A\), \(B\), \(C\) trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ) là các điểm biểu diễn của các số phức: \(1 + 2i\), \(2 + 3i\), \(2 – i\).

b) Số phức liên hợp của số \(z = 2 + 3i\) là \(\bar z = 2 – 3i\). Số phức liên hợp của số \(z’ = 1 + 2i\) là \(\overline {z’} = 1 – 2i\). Số phức liên hợp của số \(z” = 2 – i\) là \(\overline {z”} = 2 + i\). Các điểm \(M\), \(N\), \(P\) biểu diễn cho các số \(\overline z \), \(\overline {z’} \), \(\overline {z”} \) như sau:

c) Số đối của số phức: \(z = 2 + 3i\) là \( – z = – 2 – 3i\). Số đối của số phức \(z’ = 1 + 2i\) là \( – z’ = – 1 – 2i\). Số đối của số phức \(z” = 2 – i\) là \( – z” = – 2 + i\). Các điểm \(P\), \(Q\), \(R\) lần lượt biểu diễn cho các số \( – z\), \( – z’\), \( – z”.\)

Bài 2. Xác định phần thực và phần ảo của các số sau:

1. \(i + (2 – 4i) – (3 – 2i)\).
2. \({(\sqrt 2 + 3i)^2}\).
3. \((2 + 3i)(2 – 3i)\).
4. \(i(2 – i)(3 + i)\).

Lời giải:

a) \(i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = – i – 1\) có phần thực là \(-1\), phần ảo là \(-1\).

b) \({(\sqrt 2 + 3i)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i + {(3i)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i – 9 = – 7 + 6\sqrt 2 i\) có phần thực là \(-7\), phần ảo là \(6\sqrt 2\).

c) \((2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9{i^2} = 4 + 9 = 13\) có phần thực là \(13\), phần ảo là \(0\).

d) \(i(2 – i)(3 + i) = i(6 – i + 1) = i(7 – i) = 7i – {i^2} = 1 + 7i\) có phần thực là \(1\), phần ảo là \(7\).

Bài 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc \(O\) trong một mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số \(i\).

Lời giải: Gọi lục giác đều là \(ABCDEF\), trong đó \(A\) biểu diễn cho số \(i\). Suy ra \(A(0;1)\) và \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (hình vẽ). Từ đó suy ra \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\), \(C\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), \(D(0; – 1)\), \(E\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), \(F\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Vậy sáu số phức cần tìm là: \(i\), \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\), \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i\), \(-i\), \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i\), \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\).

Bài 4. Thực hiện phép tính:

1. \(\frac{1}{{2 – 3i}}\).
2. \(\frac{1}{{\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}\).
3. \(\frac{{3 – 2i}}{i}\).
4. \(\frac{{3 – 4i}}{{4 – i}}\).

Lời giải: (Tương tự như trong bài gốc)

Bài 5. Cho \(z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\) Hãy tính \(\frac{1}{z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({(\overline z )^3}\) và \(1 + z + {z^2}\).

Lời giải: (Tương tự như trong bài gốc)

Bài 6. Chứng minh:

1. Phần thực của số phức \(z\) bằng \(\frac{1}{2}(z + \bar z)\), phần ảo của số phức \(z\) bằng \(\frac{1}{{2i}}(z – \overline z )\).
2. Số phức \(z\) là số ảo khi và chỉ khi \(z = – \overline z \).
3. Với mọi số phức \(z\), \(z’\) ta có: \(\overline {z + z’} = \overline z + \overline {z’} \), \(\overline {zz’} = \overline z .\overline {z’} \) và nếu \(z \ne 0\) thì \(\frac{{\overline {z’} }}{{\overline z }} = \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} .\)

Lời giải: (Tương tự như trong bài gốc)

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m /> 0\), ta có:

1. \({i^{4m}} = 1\).
2. \({i^{4m + 1}} = i\).
3. \({i^{4m + 2}} = – 1\).
4. \({i^{4m + 3}} = – i\).

Lời giải: (Tương tự như trong bài gốc)

II. Luyện tập

Bài 10 - Bài 16. (Lời giải tương tự như trong bài gốc)

Lời khuyên:

• Nắm vững định nghĩa, tính chất của số phức, số phức liên hợp, số đối.
• Luyện tập thường xuyên các dạng bài tập về biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, tính toán với số phức, giải phương trình bậc hai với hệ số phức.
• Hiểu rõ mối liên hệ giữa số phức và các phép biến hình trong mặt phẳng phức.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!