giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: tích phân

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Tích Phân - Giải tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập Tích phân trong phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các phương pháp tiếp cận và kỹ năng cần thiết để giải quyết các dạng bài tập khác nhau. **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 10.** Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau: a) \(\int_{ – 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx.} \) b) \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx} .\) c) \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx.\) **Lời giải:** a) Bài toán này yêu cầu tính tích phân xác định của một hàm số tuyến tính. Thay vì tìm nguyên hàm, ta có thể hiểu tích phân này là diện tích hình học giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng \(x = -2\) và \(x = 4\). Vẽ đồ thị \(y = \frac{x}{2} + 3\). Diện tích \(S\) của hình thang giới hạn bởi \(y = \frac{x}{2} + 3\), \(x = -2\), \(x = 4\) và trục hoành được tính bằng công thức: \(S = \frac{1}{2}(2 + 5) \times 6 = 21\) (đvdt). Vậy \(\int_{ – 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx} = 21.\) b) Tương tự, \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx}\) biểu diễn diện tích hình học giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = |x|\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\). Vẽ đồ thị \(y = |x|\). Diện tích hình phẳng này là tổng diện tích của hai tam giác vuông. \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}\), \({S_{\Delta OCD}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\). Vậy \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.\) c) \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx\) biểu diễn diện tích của nửa đường tròn có bán kính \(R = 3\). Vẽ đồ thị \(y = \sqrt {9 – {x^2}} \). Diện tích nửa đường tròn là: \(S = \frac{1}{2}\pi {R^2} = \frac{1}{2}\pi {.3^2} = \frac{{9\pi }}{2}.\) Vậy \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx = \frac{{9\pi }}{2}.\) **Bài 11.** Cho biết \(\int_1^2 f (x)dx = – 4\), \(\int_1^5 f (x)dx = 6\), \(\int_1^5 g (x)dx = 8.\) Hãy tính: a) \(\int_2^5 f (x)dx.\) b) \(\int_1^2 3 f(x)dx.\) c) \(\int_1^5 {[f(x) – g(x)]dx} .\) d) \(\int_1^5 {[4f(x) – g(x)]dx} .\) **Lời giải:** a) Sử dụng tính chất \(\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx\), ta có: \(\int_1^5 f (x)dx = \int_1^2 f (x)dx + \int_2^5 f (x)dx\) \( \Leftrightarrow 6 = – 4 + \int_2^5 f (x)dx\) \( \Leftrightarrow \int_2^5 f (x)dx = 10.\) b) Sử dụng tính chất \(\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx\), ta có: \(\int_1^2 3 f(x)dx = 3\int_1^2 f (x)dx = 3 \times (-4) = -12.\) c) Sử dụng tính chất \(\int_a^b [f(x) - g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx\), ta có: \(\int_1^5 {[f(x) – g(x)]dx} = \int_1^5 f (x)dx – \int_1^5 g (x)dx = 6 – 8 = – 2.\) d) Sử dụng các tính chất trên, ta có: \(\int_1^5 {[4f(x) – g(x)]dx} = 4\int_1^5 f (x)dx – \int_1^5 g (x)dx = 4 \times 6 – 8 = 16.\) **Bài 12 - 16.** (Tương tự, giải thích rõ ràng từng bước và sử dụng các tính chất của tích phân để đưa ra kết quả chính xác.) **Đánh giá và Nhận xét:** Bài viết đã trình bày chi tiết lời giải của các bài tập tích phân, kết hợp giữa phương pháp hình học và các tính chất của tích phân. Việc sử dụng hình ảnh minh họa giúp người học dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về bản chất của tích phân xác định. **Lời động viên:** Học tập môn Toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy cố gắng hiểu rõ các khái niệm cơ bản và áp dụng chúng vào giải bài tập. Chúc các em học tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán!