giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: nguyên hàm

Hướng dẫn Giải Bài Tập Nguyên Hàm - Giải tích 12 Nâng Cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về nguyên hàm trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập". Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\).
• b) \(f(x) = 2{x^3} – 5x + 7\).
• c) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}\).
• d) \(f(x) = {x^{ – \frac{1}{3}}}\).
• e) \(f(x) = {10^{2x}}\).

Lời giải:

1. a) \(\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} \) \( = \int 3 {x^2}dx + \int {\frac{x}{2}} dx\) \( = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C\). Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\) là \(F(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C\).
2. b) \(\int {\left( {2{x^3} – 5x + 7} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{5}{2}{x^2} + 7x + C\).
3. c) \(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C\). \( = – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C\).
4. d) \(\int {\left( {{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{3} + 1}}}}{{ – \frac{1}{3} + 1}}\) \( = \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C\) \( = \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).
5. e) \(\int 1 {0^{2x}}dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C\).

Bài 2. Tìm:

• a) \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} .\)
• b) \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .\)
• c) \(\int 4 {\sin ^2}xdx.\)
• d) \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} .\)

Lời giải:

1. a) \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} \) \( = \int {\left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C\). \( = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\).
2. b) \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} \) \( = \int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{x} + \frac{{\sqrt x }}{{{x^2}}}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{2} + 1}}}}{{ – \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{ – \frac{3}{2} + 1}}}}{{ – \frac{3}{2} + 1}} + C\) \( = 2\sqrt x – 2\frac{1}{{\sqrt x}} + C\).
3. c) \(\int 4 {\sin ^2}xdx\) \( = 2\int {(1 – \cos 2x)dx} \) \( = 2\left( {x – \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C\) \( = 2x – \sin 2x + C\).
4. d) \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} \) \( = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} \) \( = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C\). \( = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C\).

Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Nguyên hàm của hàm \(y = x.\sin x\) là:

• (A) \({x^2}\sin \frac{x}{2} + C\).
• (B) \( – x.\cos x + C\).
• (C) \( – x \cdot \cos x + \sin x + C\).

Lời giải:

Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = x}\\

{dv = \sin xdx}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dx}\\

{v = – \cos x}

\end{array}} \right..\)

\(\Rightarrow \int x \sin xdx\) \( = – x\cos x + \int {\cos xdx} \) \( = – x\cos x + \sin x + C\).

Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:

Nếu \(f(x) = (1 – \sqrt x )’\) thì \(\int f (x)dx = – \sqrt x + C\).

Lời giải:

Khẳng định đúng.

Vì: \(f(x) = (1 – \sqrt x )’ = ( – \sqrt x )’\).

Đánh giá và Nhận xét:

Các lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, bám sát kiến thức trong sách giáo khoa. Việc sử dụng các bước biến đổi và giải thích chi tiết giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải. Các bài tập được chọn đa dạng, bao gồm các dạng bài tập cơ bản về tìm nguyên hàm của hàm số đơn giản, nguyên hàm của hàm hợp, và ứng dụng nguyên hàm vào giải bài toán. Bài 3 và 4 giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích và vận dụng kiến thức vào thực tế.

Lời Khích Lệ:

Chúc mừng các em đã hoàn thành việc ôn tập các bài tập về nguyên hàm! Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Giải tích. Để nắm vững hơn nữa, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau, đồng thời tìm hiểu các ứng dụng của nguyên hàm trong các lĩnh vực khác. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Hãy luôn cố gắng và kiên trì, chắc chắn các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất!