giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về thể tích của khối đa diện

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Khái Niệm về Thể Tích Khối Đa Diện - Hình Học 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào khái niệm về thể tích của khối đa diện. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bài toán, làm rõ phương pháp tiếp cận và các kỹ năng cần thiết để giải quyết chúng. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng về thể tích khối đa diện. Các bài toán được xây dựng theo mức độ tăng dần, từ những bài tập cơ bản về tính thể tích các khối tứ diện, bát diện đều đến những bài toán phức tạp hơn liên quan đến hình hộp và chứng minh quan hệ giữa các thể tích. Lời giải chi tiết, kèm theo hình vẽ minh họa, giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ các bước giải. **Nội dung chi tiết:** **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 1. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a.\)** **Lời giải:** Để tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\), ta cần xác định chiều cao và diện tích đáy. Gọi \(BB’\), \(CC’\) là các đường cao của tam giác \(BCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(BB’\) và \(CC’\), khi đó \(O\) là tâm của tam giác đều \(BCD\). Chứng minh được \(AO \bot (BCD)\). Thể tích \(V\) của khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}AO.{S_{\Delta BCD}}\). * Diện tích tam giác đáy: \({S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). * Chiều cao \(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{4}{9}{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\). Thay các giá trị vào công thức tính thể tích, ta được: \(V = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\). **Bài 2. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(a.\)** **Lời giải:** Khối bát diện đều có thể được chia thành hai khối chóp bằng nhau có chung đáy. Ta có: \({V_{ABCDEF}} = {V_{ABCDE}} + {V_{FBCDE}} = 2{V_{ABCDE}} = 2.\frac{1}{3}{S_{OBCDE}}.AO\), với \(O\) là tâm của hình vuông \(BCDE\). * Chiều cao \(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\). * Diện tích đáy \({S_{BCDE}} = {a^2}\) (vì tứ giác \(BCDE\) là hình vuông cạnh \(a\)). Do đó \({V_{ABCDEF}} = \frac{2}{3}.{a^2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\). **Bài 3. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’.\) Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’.\)** **Lời giải:** Gọi thể tích khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) là \(V\). Ta có: \({V_{B’.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{6}V\). \({V_{A’.B’D’A}} = \frac{1}{3}{V_{ABD.A’B’D’}} = \frac{1}{6}V\). \({V_{D’.ACD}} = \frac{1}{3}{V_{ACD.A’C’D’}} = \frac{1}{6}V\). \({V_{C’.B’D’C}} = \frac{1}{3}{V_{BCD.B’C’D’}} = \frac{1}{6}V\). Suy ra \({V_{CAD’B’}} = V – \left( {{V_{B’ABC}} + {V_{A’B’D’A}} + {V_{DACD’}} + {V_{C’B’D’C}}} \right) = V – \frac{4}{6}V = \frac{1}{3}V\). Vậy \(\frac{V}{{{V_{CAD’B’}}}} = 3\). **Bài 4. Cho hình chóp \(giaitoan.edu.vn.\) Trên các đoạn thẳng \(SA\), \(SB\), \(SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’\), \(B’\), \(C’\) khác \(S.\) Chứng minh rằng: \(\frac{{{V_{S.A’B’C’}}}}{{{V_{giaitoan.edu.vn}}}} = \frac{{SA’}}{{SA}}.\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}}.\)** **Lời giải:** Sử dụng phương pháp tỉ lệ thể tích, ta có: \(\frac{{{V_{S.A’B’C’}}}}{{{V_{giaitoan.edu.vn}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{\Delta SB’C’}}.A’H’}}{{\frac{1}{3}{S_{\Delta SBC}}.AH}} = \frac{{SA’.SB’.SC’}}{{giaitoan.edu.vn}}\). **Bài 5. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a.\) Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a.\) Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\) cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E.\) Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a.\)** **Lời giải:** (Lời giải đã được cung cấp đầy đủ trong nội dung gốc) **Bài 6. Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’.\) Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d.\) Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.** **Lời giải:** (Lời giải đã được cung cấp đầy đủ trong nội dung gốc) **Lời khích lệ:** Các em học sinh thân mến, việc nắm vững kiến thức về thể tích khối đa diện là nền tảng quan trọng cho việc học Hình học không gian. Đừng nản lòng trước những bài toán có vẻ khó khăn, hãy kiên trì luyện tập, phân tích kỹ đề bài và áp dụng các công thức, phương pháp đã học. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán! Hãy nhớ rằng, sự cố gắng và nỗ lực của các em sẽ được đền đáp xứng đáng.