Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính - Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài toán quy hoạch tuyến tính (Linear Programming - LP) là một phương pháp toán học để tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính, với các ràng buộc là các bất đẳng thức tuyến tính và các điều kiện không âm. Đây là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, quản lý, kỹ thuật và khoa học.

1. Khái niệm cơ bản

Một bài toán quy hoạch tuyến tính thường bao gồm các thành phần sau:

• Hàm mục tiêu: Là hàm số tuyến tính cần tối ưu hóa (tối đa hoặc tối thiểu). Ví dụ: f(x, y) = 3x + 2y
• Biến quyết định: Là các biến số cần tìm giá trị để tối ưu hóa hàm mục tiêu. Ví dụ: x, y
• Ràng buộc: Là các bất đẳng thức tuyến tính giới hạn miền giá trị của các biến quyết định. Ví dụ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5

2. Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính

1. Xây dựng mô hình toán học: Xác định hàm mục tiêu, các biến quyết định và các ràng buộc.
2. Biểu diễn ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất đẳng thức ràng buộc.
3. Xác định miền nghiệm: Miền nghiệm là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn tất cả các ràng buộc.
4. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: Các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng biên của miền nghiệm.
5. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh: Thay tọa độ của các đỉnh vào hàm mục tiêu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
6. Kết luận: Chọn đỉnh mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất).

3. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 100 kg nguyên liệu và 80 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để đạt doanh thu cao nhất, biết rằng giá bán một đơn vị sản phẩm A là 50 nghìn đồng và một đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

• Biến quyết định: x là số lượng sản phẩm A, y là số lượng sản phẩm B.
• Hàm mục tiêu: f(x, y) = 50x + 40y (doanh thu)
• Ràng buộc:
  • 2x + y ≤ 100 (nguyên liệu)
  • x + 2y ≤ 80 (công)
  • x ≥ 0, y ≥ 0 (điều kiện không âm)

(Tiếp tục giải bài toán bằng các bước đã nêu ở phần 2, tìm miền nghiệm, các đỉnh và giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh để tìm ra phương án tối ưu).

4. Ứng dụng của bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Lập kế hoạch sản xuất: Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận.
• Quản lý kho hàng: Xác định lượng hàng tồn kho tối ưu để giảm thiểu chi phí.
• Vận tải: Xác định tuyến đường vận chuyển tối ưu để giảm thiểu chi phí.
• Đầu tư tài chính: Xác định danh mục đầu tư tối ưu để tối đa hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro.

5. Lưu ý khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính

• Đảm bảo mô hình toán học được xây dựng chính xác và đầy đủ.
• Vẽ chính xác miền nghiệm để tránh sai sót.
• Kiểm tra kỹ các đỉnh của miền nghiệm để đảm bảo không bỏ sót.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!