Bài 1. Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

I. Giới thiệu chung về biến cố và không gian mẫu

Trước khi đi sâu vào biến cố giao và quy tắc nhân xác suất, chúng ta cần nắm vững khái niệm về biến cố và không gian mẫu. Không gian mẫu (Ω) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm. Biến cố (A) là một tập con của không gian mẫu, tức là tập hợp các kết quả thỏa mãn một điều kiện nhất định.

Ví dụ: Tung một đồng xu, không gian mẫu Ω = {S, N} (S: sấp, N: ngửa). Biến cố A: “Xuất hiện mặt sấp” thì A = {S}.

II. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố mà cả A và B đều xảy ra. Nói cách khác, A ∩ B là tập hợp các kết quả thuộc cả A và B.

Ví dụ: Xét thí nghiệm tung hai con xúc xắc. A là biến cố “Tổng số chấm là 7”, B là biến cố “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3”. Khi đó, A ∩ B là biến cố “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3 và tổng số chấm là 7”, tức là A ∩ B = {(3, 4)}.

III. Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân xác suất là công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố giao. Quy tắc này phát biểu như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B.
P(A) là xác suất của biến cố A.
P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra.

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, tức là việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B, thì P(B|A) = P(B) và quy tắc nhân xác suất trở thành:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “Quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ”, B là biến cố “Quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”. Ta cần tính P(A ∩ B).

P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng).

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng).

Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14.

Ví dụ 2: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.

Giải:

Không gian mẫu Ω có 36 kết quả (mỗi con xúc xắc có 6 mặt). Các kết quả thỏa mãn tổng số chấm bằng 7 là: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Vậy có 6 kết quả thuận lợi.

Xác suất để tổng số chấm bằng 7 là: P(A) = 6/36 = 1/6.

V. Bài tập vận dụng

1. Một túi chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều trắng.

2. Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để mặt 6 xuất hiện ít nhất một lần.

3. Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.

Hy vọng với bài viết này, các em đã nắm vững kiến thức về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất. Chúc các em học tập tốt!