Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công cụ cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa biến cố giao, cách tính xác suất của biến cố giao, và ứng dụng của quy tắc nhân xác suất trong thực tế.
1. Biến cố giao Cho hai biến cố A và B.
1. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu AB hoặc \(A \cap B\) được gọi là biến cố giao của A và B.
Chú ý: Tập hợp mô tả biến cố AB là giao của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B. Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra.
2. Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.
Chú ý: Hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset \).
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Nhận xét: Nếu hai biến cố A và B độc lập thì A và \(\overline B \); \(\overline A \) và B; \(\overline A \) và \(\overline B \) cũng độc lập.
4. Quy tắc nhân xác suất của hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy, nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)\) thì hai biến cố A và B không độc lập.
Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán là biến cố giao và quy tắc nhân xác suất. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết này, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn.
Định nghĩa: Cho hai biến cố A và B. Biến cố giao của A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố mà cả A và B đều xảy ra.
Ví dụ: Tung một con xúc xắc. A là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn”, B là biến cố “mặt xúc xắc ra số lớn hơn 3”. Khi đó, A ∩ B là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn lớn hơn 3”, tức là mặt xúc xắc ra 4 hoặc 6.
Xác suất của biến cố giao A ∩ B được tính như sau:
Trong đó:
Quy tắc nhân xác suất là một công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố giao. Nó được phát biểu như sau:
Cho các biến cố A1, A2, ..., An. Xác suất của biến cố A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An được tính như sau:
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) * P(A2|A1) * P(A3|A1 ∩ A2) * ... * P(An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An-1)
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ”, B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.
P(A) = 5/8
P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 7 quả bóng tổng cộng)
P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
Ví dụ 2: Gieo một đồng xu 3 lần. Tính xác suất để cả 3 lần đều ra mặt ngửa.
Giải:
Gọi A1 là biến cố “lần gieo thứ nhất ra mặt ngửa”, A2 là biến cố “lần gieo thứ hai ra mặt ngửa”, A3 là biến cố “lần gieo thứ ba ra mặt ngửa”.
Vì mỗi lần gieo là độc lập, nên P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/2
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) * P(A2) * P(A3) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
