Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó mô tả một biến mà giá trị của nó chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc tìm hiểu về biến ngẫu nhiên rời rạc trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, bao gồm định nghĩa, ví dụ, và các số đặc trưng quan trọng.

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Nói cách khác, các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận phải là các số nguyên hoặc có thể liệt kê được.

2. Ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc

Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa: Biến ngẫu nhiên này có thể nhận các giá trị 1, 2, 3,...
Số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng: Số lượng sản phẩm lỗi có thể là 0, 1, 2,...
Điểm số trong một bài kiểm tra trắc nghiệm: Điểm số thường là các số nguyên từ 0 đến tổng số câu hỏi.

3. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Hàm phân phối xác suất (probability mass function - PMF) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là P(X = x), cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận một giá trị cụ thể x. Hàm phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

P(X = x) ≥ 0 với mọi x
∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị có thể nhận phải bằng 1)

4. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có một số số đặc trưng quan trọng được sử dụng để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giá trị kỳ vọng (Expected Value - E(X)): Giá trị kỳ vọng là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng công thức: E(X) = ∑ x * P(X = x)
Phương sai (Variance - Var(X)): Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị kỳ vọng. Công thức tính phương sai là: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = ∑ (x - E(X))^2 * P(X = x)
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation - SD(X)): Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, và nó cũng đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên. SD(X) = √Var(X)

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Hãy tìm hàm phân phối xác suất, giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Giải:

Tập hợp các giá trị có thể nhận của X là {0, 1, 2}.

P(X = 0) = C(2,2) / C(5,2) = 1/10
P(X = 1) = C(3,1) * C(2,1) / C(5,2) = 6/10
P(X = 2) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

E(X) = 0 * (1/10) + 1 * (6/10) + 2 * (3/10) = 1.2

Var(X) = (0 - 1.2)^2 * (1/10) + (1 - 1.2)^2 * (6/10) + (2 - 1.2)^2 * (3/10) = 0.24

SD(X) = √0.24 ≈ 0.49

6. Kết luận

Bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên rời rạc, bao gồm định nghĩa, ví dụ, hàm phân phối xác suất và các số đặc trưng quan trọng. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất và thống kê.