Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Giải Toán 12 Cánh diều Tập 1

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi bộ ba số thực (x; y; z), ký hiệu là a = (x; y; z). x, y, z được gọi là các tọa độ của vectơ a.

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.

II. Các phép toán vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tổng của hai vectơ a và b là vectơ c = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

Tính chất:

• Phép cộng vectơ có tính giao hoán: a + b = b + a
• Phép cộng vectơ có tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
• Tồn tại vectơ không 0 = (0; 0; 0) sao cho với mọi vectơ a, ta có a + 0 = a
• Với mọi vectơ a, tồn tại vectơ đối -a = (-x; -y; -z) sao cho a + -a = 0

2. Phép trừ vectơ

Hiệu của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) là vectơ c = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂).

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k. Tích của vectơ a với số thực k là vectơ ka = (kx; ky; kz).

Tính chất:

• k(a + b) = ka + kb
• (k + l)a = ka + la
• k(la) = (kl)a
• 1a = a
• 0a = 0

III. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6). Tính a + b và 2a.

Giải:

• a + b = (1 + 4; 2 + 5; 3 + 6) = (5; 7; 9)
• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ c biết rằng a = (2; -1; 3) và b = (1; 0; -2), đồng thời c = a - 2b.

Giải:

c = a - 2b = (2; -1; 3) - 2(1; 0; -2) = (2; -1; 3) - (2; 0; -4) = (2 - 2; -1 - 0; 3 - (-4)) = (0; -1; 7)

IV. Luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 1, bài 1 để củng cố kiến thức đã học. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho các bài tập này trong thời gian sớm nhất.

Việc nắm vững kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ trong không gian là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức tiếp theo trong chương trình Toán 12. Chúc các em học tốt!