Bài 11. Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

2. Tính chất của nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C

4. Phương pháp tìm nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.
Sử dụng các tính chất của nguyên hàm để biến đổi hàm số về dạng có thể tìm nguyên hàm được.
Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1

∫(3x² + 2x + 1)dx = 3∫x²dx + 2∫xdx + ∫dx = 3(x³/3) + 2(x²/2) + x + C = x³ + x² + x + C

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x)

Đặt u = 2x, du = 2dx => dx = du/2

∫sin(2x)dx = ∫sin(u) (du/2) = (1/2)∫sin(u)du = (1/2)(-cos(u)) + C = -(1/2)cos(2x) + C

5. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm, các em cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. giaitoan.edu.vn cung cấp đầy đủ các bài tập trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, cùng với lời giải chi tiết và dễ hiểu. Hãy truy cập website của chúng tôi để luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

6. Ứng dụng của nguyên hàm

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật, kinh tế,... Ví dụ, nguyên hàm được sử dụng để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, và giải các bài toán liên quan đến chuyển động.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về nguyên hàm và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!