Lý Thuyết Nguyên Hàm Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức

Lý Thuyết Nguyên Hàm Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Nguyên hàm trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học tập và giải quyết các bài toán tích phân. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách hệ thống và dễ hiểu nhất về nguyên hàm, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \).

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \)
\(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \)
\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

\(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \)
\(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \)

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \)
\(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \)

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \)
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \)

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức 1

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Với bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý Thuyết Nguyên Hàm Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc tính tích phân và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc nắm vững lý thuyết nguyên hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt.

1. Định Nghĩa Nguyên Hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính Chất của Nguyên Hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Đạo hàm của nguyên hàm bằng chính hàm số ban đầu: (∫f(x)dx)' = f(x).

3. Các Nguyên Hàm Cơ Bản

Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Các Quy Tắc Tính Nguyên Hàm

4.1. Quy tắc cộng, trừ

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

4.2. Quy tắc nhân với hằng số

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k là hằng số)

4.3. Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫f(g(x))g'(x)dx, đặt u = g(x) thì du = g'(x)dx và ∫f(u)du

4.4. Phương pháp tích phân từng phần

∫u dv = uv - ∫v du

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính ∫x² dx

Áp dụng quy tắc ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, ta có ∫x² dx = (x³)/3 + C

Ví dụ 2: Tính ∫sin(2x) dx

Đặt u = 2x, du = 2dx => dx = du/2. Khi đó, ∫sin(2x) dx = ∫sin(u) (du/2) = (1/2)∫sin(u) du = (1/2)(-cos(u)) + C = -(1/2)cos(2x) + C

6. Luyện Tập

Tính ∫(3x² + 2x + 1) dx
Tính ∫cos(3x) dx
Tính ∫x*e^x dx (sử dụng tích phân từng phần)

7. Kết Luận

Lý thuyết nguyên hàm là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất, quy tắc và phương pháp tính nguyên hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.