Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 4, 5, 6 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Nguyên hàm của một số
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).
b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\)
b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);
b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)
G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:
\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm \(\int {{x^3}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).
Do đó, \(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).
a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).
b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\)
b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);
b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)
G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:
\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm \(\int {{x^3}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).
Do đó, \(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Để giải tốt các bài tập trong Mục 1, các em cần:
(Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 + 3x - 2 tại x = 1)
Lời giải:
Ta có f'(x) = 2x + 3. Do đó, f'(1) = 2(1) + 3 = 5.
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 1 là 5.
(Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x))
Lời giải:
Ta có g'(x) = cos(x) - sin(x).
(Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = (x^2 + 1) / (x - 1))
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:
h'(x) = [(x^2 + 1)'(x - 1) - (x^2 + 1)(x - 1)'] / (x - 1)^2
h'(x) = [2x(x - 1) - (x^2 + 1)] / (x - 1)^2
h'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 - 1) / (x - 1)^2
h'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2
Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần chú ý:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Mục 1 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
